$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(xf(x)+2y)=f(x^2)+f(y)+x+y-1$

Question

$$ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(xf(x)+2y)=f(x^2)+f(y)+x+y-1 $$ Esos son mis intentos. $$ P(0, y): f(2y) = f(0)+f(y)+y-1 \\ y=0; \ f(0)=2f(0)-1 \Rightarrow f(0)=1. \\ \ \\ P(x, 0): f(xf(x))=f(x^2)+x \\ x=1; \ f(f(1))=f(1)-1.\\ \ \\ P(1, f(1)): f(3f(1))=f(f(1))+2f(1) = 3f(1)-1. \\ P(1, 3f(1)): f(7f(1))=f(3f(1))+4f(1) = 7f(1)-1. \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ f((2^n-1)f(1))=(2^n-1)f(1)-1. $$

Por favor, encuentre todas las funciones que son posibles con el proceso completo.

Answer 1

Estoy muy orgulloso de esta solución. Para que no haya dudas, la ecuación funcional que debemos resolver es $$ f(xf(x) + 2y) = f(x^2) + f(y) + x + y - 1. $$ Enchufar $x = y = 0$ nos da que $$ f(0) = 2f(0) - 1 \quad \text{and thus} \quad f(0) = 1. $$ Enchufar $x = 0$ entonces nos da que $$ f(2y) = f(y) + y, \qquad (*) $$ por lo que podemos reescribir nuestra ecuación funcional a $$ f(xf(x) + 2y) = f(x^2) + f(2y) + x - 1. $$ Enchufar $y = 0$ nos da que $$ f(xf(x)) = f(x^2) + x \qquad (**) $$ por lo que podemos reescribir nuestra ecuación funcional como $$ f(xf(x) + 2y) = f(xf(x)) + f(2y) - 1. $$

Conectamos $y = -xf(x)$ . Encontramos que $$ f(-xf(x)) = f(xf(x)) + f(-2xf(x)) - 1 = f(xf(x)) + f(-xf(x)) - xf(x) - 1, $$ donde utilizamos $(*)$ . Podemos reescribir esto como $$ f(xf(x)) = xf(x) + 1. $$ Esto significa que en el plató $A = \{ xf(x) \mid x \in \mathbb{R} \}$ la función $f$ es idénticamente igual a $x+1$ .

Nuestra ecuación funcional se puede reescribir de la siguiente manera $$ f(xf(x) + 2y) = xf(x) + f(2y), \qquad (***) $$ Obsérvese que ahora también podemos simplificar $(**)$ a $$ xf(x) + 1 = f(x^2) + x. $$ Enchufar $-x$ para $x$ aquí nos da que $$ -xf(-x) + 1 = f(x^2) - x, $$ y así, restando estos dos, encontramos que $$ xf(x) - ( -xf(-x) ) = 2x. $$ Esto significa que para cualquier $x \in \mathbb{R}$ existe $a,a' \in A$ con $a - a' = 2x$ . Esta anotación adicional no es necesaria, pero hará que el tramo final sea menos complicado. Para cualquier $x \neq 0$ podemos dividir por ella para encontrar también que $$ f(x) + f(-x) = 2. $$ Obsérvese que esto también es válido para $x = 0$ por lo que se mantiene para todos $x \in \mathbb{R}$ .

Set $B = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) = x+1 \}$ . Demostramos que $B = \mathbb{R}$ . Hemos visto que $A \subset B$ y lo anterior demuestra que también $-A \subset B$ . Ahora, dejemos que $x \in \mathbb{R}$ sea arbitraria y escriba $2x = a - a'$ para algunos $a, a' \in A$ como en el caso anterior. Establezca $xf(x) = a$ y $2y = -a'$ en $(***)$ . Nos da que $$ f(2x) = f(a + (-a')) = a + f(-a') = a - a' + 1 = 2x+1. $$ Desde $x \in \mathbb{R}$ era arbitraria, hemos terminado.