Curvatura gaussiana de una superficie de revolución

Question

Sea $\alpha(s) = (f(s), g(s))$ una curva plana parametrizada por longitud de arco en el plano $yz$ y asumamos que $f(s) > 0$. La superficie de revolución obtenida al girar la curva parametrizada por $\alpha$ alrededor del eje z, está dada por $f(u,v) = (f(u)\cos v, f(u)\sin v, g(u)).

¿Cómo demuestro que tiene curvatura gaussiana $K(u,v) = -\frac{f''(u)}{f(u)}$?

Me pregunto cómo se deriva esto. Calculé el vector normal, las primeras y segundas formas fundamentales pero aún así no puedo derivarla.

Answer 1

Tenemos $$ {\bf f}_u = (f'\cos\ v,f'\sin\ v,g'),\ {\bf f}_v = f(-\sin\ v, \cos\ v,0).$$ Tenga en cuenta que $$N =\frac{ {\bf f}_u\times {\bf f}_v }{|{\bf f}_u\times {\bf f}_v|} =\frac{f(-g'\cos\ v, -g'\sin\ v, f')}{|{\bf f}_u\times {\bf f}_v |}.$$ Dado que $\alpha$ tiene velocidad unitaria, \begin{equation} \tag{A} (f')^2+(g')^2=1. \end{equation} Entonces $$N = (-g'\cos\ v, -g'\sin\ v, f').$$

Aquí, $N_u= -(g''\cos\ v,g''\sin\ v, f''),\ N_v = (g'\sin\ v, -g'\cos\ v,0).$

Dado que $f'f''+g'g''=0$ de (A) (es decir, $g''=-\frac{f'f''}{g'}$), $$N_u = f''(f'/g'\cos\ v,f'/g'\sin\ v,1)=f''/g' {\bf f}_u$$ y $$N_v=-g'/f {\bf f}_v$$

Por lo tanto, el producto de los autovalores es $f''/g' (-g'/f)=-f''/f$.

Answer 2

Las curvas $\gamma_c(s)=f(s,c)$ ($c$ una constante) son geodésicas por razones de simetría (cada una de ellas se encuentra en un plano tal que la simetría con respecto a este plano preserva la superficie). El campo vectorial $w:=\partial/\partial v$ (en la parametrización de la superficie) satisface la ecuación de Jacobi (=desviación geodésica) $w''+Rw=0$. Observa que $w=f(u)e$ donde $e$ es de longitud 1 y ortogonal a la geodésica, por lo tanto $e'=0$. Así tenemos que $w''+Rw=(f''+Rf)e=0$, de donde $R=-f''/f$.