Sistemas conservadores y la ecuación de Hamilton-Jacobi

Question

Estoy tratando de entender geométricamente la relación entre un sistema clásico conservador descrito por el hamiltoniano $H$ para la que las trayectorias de las partículas vienen dadas por $$\dot{x} = \nabla_p H(x,p) \qquad \dot{p} = - \nabla_x H(x,p)$$ y la de la ecuación de Hamilton-Jacobi $$u_t - H(x,\nabla u) = 0.$$

A saber: las trayectorias de las partículas con hamiltoniana $H$ se limitan a los conjuntos de niveles de ese hamiltoniano. ¿Están estos conjuntos de niveles relacionados con las curvas características dadas por la correspondiente ecuación de Hamilton-Jacobi? ¿Existe una forma directa de pasar de los conjuntos de niveles a las curvas características o viceversa?

Puede restringir el problema a una dimensión espacial si es necesario.

Gracias.

Answer 1

La función $u$ se conoce como La función principal de Hamilton . Dado que el sistema de OP es aparentemente autónomo se debería (para simplificar) utilizar La función característica de Hamilton $W$ en su lugar. El Ecuación HJ entonces se simplifica a $$H(x,\nabla W)~=~E. $$ El correspondiente curvas características conserva ciertamente el nivel de energía $E$ .