¿Qué conjuntos son removibles para funciones holomorfas?

Question

Sea $\Omega$ un dominio en $\mathbb C$, y sea $\mathscr X$ alguna clase de funciones de $\Omega$ a $\mathbb C$. Un conjunto $E\subset \Omega$ se llama removible para las funciones holomorfas de la clase $\mathscr X$ si se cumple lo siguiente: cada función $f\in\mathscr X$ que es holomorfa en $\Omega\setminus E$ es en realidad holomorfa en $\Omega$, posiblemente, después de ser redefinida en $E$.

(Un ejemplo de lo anterior: $E$ es un intervalo de línea, $\mathscr X$ consiste en funciones continuas. En este caso $E$ es removible, como se muestra en la respuesta.)

Es claro que mientras más grande sea $\mathscr X$, más pequeña será la clase de conjuntos removibles. En el caso extremo, si $\mathscr X$ contiene todas las funciones $\Omega\to\mathbb C$, no existen conjuntos removibles no vacíos. De hecho, si $a\in E$, entonces $f(z)=\frac{1}{z-a}$ (definida arbitrariamente en $z=a$) es holomorfa en $\Omega\setminus E$ pero no tiene extensión holomorfa a $\Omega$.

El problema de describir conjuntos removibles es no trivial en muchas clases $\mathscr X$ tales como

• $L^{\infty}(\Omega)$, funciones acotadas
• $C(\Omega)$, funciones continuas
• $C^{\alpha}(\Omega)$, funciones Hölder continuas
• $\mathrm{Lip}(\Omega)$, funciones Lipschitz

¿Qué conjuntos son removibles para funciones holomorfas en estas clases?

Answer 1

Segmento de línea es removible para funciones continuas

Comencemos con un resultado concreto: Si $L$ es una línea, entonces $L\cap \Omega$ es removible para $\mathscr X=C(\Omega)$. Sea $f\in C(\Omega)$ holomorfo en $\Omega\setminus L$. Por el teorema de Morera basta probar que la integral de $f$ a lo largo de la frontera de cada triángulo $T\subset \Omega$ es cero. Consideremos tres casos:

• $T$ no se encuentra con $L$. Este caso es claro.
• $T$ tiene un lado que yace en $L$. Sea $T_n=T+\delta_n$ donde $\delta_n$ son números complejos tales que $\delta_n\to 0$ y $T_n\cap L=\varnothing$. En otras palabras, trasladamos $T$ una pequeña cantidad para moverlo fuera de la línea $L$. Usando la continuidad uniforme de $f$ en subconjuntos compactos de $\Omega$, encontramos que $$\int_{\partial T}f(z)\,dz=\lim_{n\to\infty}\int_{\partial T_n}f(z)\,dz=0$$
• $T$ tiene puntos en ambos lados de $L$. Entonces $L$ divide $T$ en un triángulo y otro polígono (triángulo o cuadrilátero). El cuadrilátero se puede dividir en dos triángulos. La integral de $f$ sobre la frontera de cada triángulo resultante es $0$ según lo anterior. Sumando estas integrales obtenemos $\int_{\partial T}f(z)\,dz=0$.

Segmento de línea no es removible para funciones acotadas

Para complementar el resultado anterior: un segmento de línea no es removible para $\mathscr X=L^{\infty}(\mathbb C)$. De hecho, la función $f=z+z^{-1}$ mapea el disco unitario $\mathbb D$ biyectivamente a $\mathbb C\setminus [-2,2]$. La inversa $g=f^{-1}$ es holomorfa en $\mathbb C\setminus [-2,2]$, está acotada por $1$, pero no tiene extensión holomorfa a $\mathbb C$. (Por un lado, $g(z)$ se acerca tanto a $i$ como a $-i$ cuando $z\to 0$. Por otro lado, una extensión holomorfa debería ser constante por el teorema de Liouville.)

Conjuntos generales

El caso $\mathscr X=C^{\alpha}(\Omega)$, $0\le \alpha<1$, fue resuelto por E. P. Dolzhenko en 1963: un conjunto compacto $E$ es removible si y solo si su medida de Hausdorff $(1+\alpha)$-dimensional es cero.

Como suele suceder, el exponente Hölder entero resultó ser más difícil que el fraccional. Esta cuestión se resolvió en 1979, cuando Nguyen Xuan Uy demostró que un conjunto compacto $E$ es removible para funciones holomorfas de clase $\mathrm{Lip}(\Omega)$ si y solo si $E$ tiene medida dimensional 2 igual a cero.

Los dos casos restantes, $L^\infty$ y $C$, son mucho más complicados. Dos resultados clásicos son:

1. Un conjunto de medida $1$-dimensional igual a $0$ es removible para $L^\infty$ (y por lo tanto también para $C$).
2. Un conjunto de dimensión Hausdorff mayor a $1$ no es removible para $C$ (y por lo tanto tampoco para $L^\infty$).

Pero los conjuntos removibles para estas clases no admiten una caracterización completa en términos de medidas de Hausdorff. En su lugar, son estudiados mediante los conceptos de capacidad analítica $\gamma$ y capacidad analítica continua $\alpha$ (este último se define de manera similar a $\gamma$ pero usando $C$ en lugar de $L^{\infty}$). La removibilidad se muestra fácilmente equivalente a la desaparición de la capacidad correspondiente. Luego se procede a investigar condiciones necesarias y suficientes para la desaparición de la capacidad analítica, su invariancia bajo clases de funciones, continuidad bajo intersecciones/uniones anidadas, etc... La página web de Xavier Tolsa tiene una gran cantidad de información sobre este tema.