Relación de derivadas/integrales parece refutar el Teorema fundamental del cálculo!!!!!!

Question

Considerar la función del suelo:

$$f(x) = \lfloor x \rfloor$$

La integral indefinida de f es:

$$\int_0^x f(x) dx = x\lfloor x \rfloor - \frac {\lfloor x \rfloor^2 + \lfloor x \rfloor} 2$$

Esta debe ser una antiderivada de piso, a la derecha?

Nope! Si se toma la derivada de la integral de encontrar que las esquinas afiladas causar la derivada no existe.

Entonces esto significaría que la integral de piso no es una antiderivada de la derecha?

Por lo tanto, he encontrado un caso en el que la antiderivada no es igual a la integral indefinida.

En ese caso debo ser errónea, ya que viola el primer teorema fundamental del cálculo.

¿Dónde está el error en mi lógica y por qué parecen desmentir el primer teorema fundamental de la relación entre la integral y la derivada?

Esto no es parte de la pregunta anterior, de por sí, pero me di cuenta de lo interesante, que es la derivada de la integral anterior es:

$$\lfloor x \rfloor \frac {x - \lfloor x \rfloor}{x - \lfloor x \rfloor}$$

Me pregunto qué tipo de propiedades se modifica en la integración/diferenciación si se IDK... redefinir la derivada por la cancelación de los términos de la fracción? O para el caso, la cancelación de todas las fracciones de esa naturaleza?

Answer 1

El Teorema fundamental del cálculo tiene una hipótesis crucial: $$F(x)=\int_{a}^x f(t)dt\Rightarrow F'(a)=f(a) $ $

Cuando y donde $f$ es continuo, aquí estamos suponiendo es continua en el punto $f$ $a$. La función piso mucho no es continua. Cuando vea teoremas, es muy importante que revises Cuáles son las hipótesis.

Answer 2

El primer teorema fundamental del cálculo se expresa de la siguiente manera:

Para cualquier función continua $f:[a,b]\rightarrow \mathbb R$ la función de $F(x)=\int_{a}^x f(x)\,dx$ $F'(x)=f(x)$ todos los $x\in (a,b)$.

Observe que $f(x)=\lfloor x\rfloor$ no es continua en los enteros, por lo que este teorema no dice nada acerca de eso. Tenga en cuenta que los derivados que hacer de acuerdo en los puntos donde $f(x)$ es continua.

Una cosa interesante a tener en cuenta es que hay otra versión del primer teorema fundamental del cálculo llamado la diferenciación de Lebesgue teorema que afloja la restricción en $f$, pero sólo dice que $F'(x)=f(x)$ en casi todas partes. Se basa en la teoría de la medida para el estado, así que no voy a reproducir aquí, pero vale la pena señalar que uno tiene un trade-off entre las condiciones en $f$ y los resultados de $F$.

Answer 3

Por lo tanto, he encontrado un caso en el que la antiderivada no es igual a la integral indefinida.

Esa declaración es en realidad no es del todo correcto. Lo que han encontrado es un caso donde la integral indefinida no se puede utilizar para obtener la función original a través de la diferenciación. Pero no se puede decir nada acerca de una antiderivada que no es igual a otra cosa, porque no existe.

De hecho, la declaración "cualquier antiderivada es igual a la integral indefinida" es cierto – para todas las cero antiderivatives!

Lo que es más: en más de un sentido^† la integral es en realidad diferenciable. En particular, para cualquier $x$ y la secuencia de las $((x)_i)_i$ convergentes a $x$ desde arriba (es decir,$x_i>x$), se obtiene $$ \lim_{i\to\infty} \frac{F(x_i) - F(x)}{x_i - x} \equiv \lim_{\xi\searrow x} \frac{F(\xi) - F(x)}{\xi - x} = \lfloor x\rfloor = f(x). $$ Para todos los $x\not\in\mathbb{Z}$, superior derivada es igual a la normal de derivados. El problema es que, no habría ninguna razón de peso a favor de la parte superior de derivados en la parte inferior de la derivada, y resulta que la parte inferior de derivados no está de acuerdo: $$ \lim_{\xi\nearrow x} \frac{F(\xi) - F(x)}{\xi - x} = \lceil x-1\rceil. $$ Esto es todavía igual a $f(x)$ en casi todas partes, pero por $x\in\mathbb{Z}$ tenemos $\lceil x-1\rceil = f(x)-1$.

Prácticamente se puede decir que la derivada es deliberadamente construido de tal manera que no existe en casos como este en que no habría una ambigüedad y el Teorema Fundamental sería contradicho. Al exigir la continuidad de la $f$, el Teorema Fundamental también se opone a dicha ambigüedad y garantías que la integral de una buena definición de derivada.

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^†_{Estos superiores o inferiores derivados en realidad no son de mucho uso en la práctica, pero hay un concepto llamado débil de derivados que tiene algunos bastante útiles aplicaciones.}