Ejemplo de convergencia monótona

Question

En el primer capítulo de Probability wih Martingales (Willams) me encontré con el siguiente ejemplo. El libro dice que es incorrecto, no entiendo qué hay de malo en ello. ¿Podría alguien explicar por qué está mal?

Answer 1

Ilustra que la suposición $\mu(A_1)<\infty$ en lo siguiente es crucial:

Dejemos que $(X,\mathcal{E},\mu)$ sea un espacio de medidas. Si $(A_n)_{n\geq 1}$ es una secuencia de conjuntos de $\mathcal{E}$ tal que $A_1\supseteq A_2\supseteq \cdots$ y $\mu(A_1)<\infty$ entonces $$\mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right)=\lim_{n\to \infty}\mu(A_n).$$

Answer 2

Lo que está mal es la idea de que para $H_1 \supset H_2 \supset \dots$ tenemos $$\operatorname{Leb}(\cap_n H_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} \operatorname{Leb}(H_n).$$