Definición de la suma de números naturales

Question

Después de definir los números naturales utilizando los axiomas de Peano, estoy tratando de entender la definición de suma entre números naturales, vamos $s$ sea el función de sucesión utilizado en los axiomas de Peano. La definición más natural de suma de números naturales es $m+n=s^n(m)$ , es decir, la suma $m+n$ es la función $s$ iterado $n$ veces en el elemento $m$ . Pero, ¿qué significa la frase " $n$ tiempos", si aún no tenemos este concepto (por mientras $n$ es sólo un elemento de los números naturales)?

Gracias

Answer 1

Puede que pienses que esa es la definición "más natural", pero no es así como se define nunca, por la razón que has dado. En cambio, se puede definir recursivamente mediante las ecuaciones

$$\begin{align} m + 0 & = m\\ m + s(n) & = s(m + n) \end{align}$$

que no dependen de ninguna noción de " $n$ veces". Obsérvese que para cualquier suma de la forma $m+n'$ , ya sea $n'$ es igual a $0$ en cuyo caso se aplica la primera cláusula, y la suma puede evaluarse inmediatamente, o $n'$ es el sucesor $s(n)$ de algún número natural $n$ , en cuyo caso se aplica la segunda cláusula, y podemos calcular la suma en términos de una suma estrictamente más simple.

Por ejemplo, para determinar el valor de $X = s(0)+s(0)$ pasamos a la segunda cláusula, que afirma que esta suma es igual a $s(s(0)+0)$ . Como la primera cláusula nos dice que la suma interna $s(0)+0$ es igual a $s(0)$ la suma $X$ es igual a $s(s(0))$ que es la respuesta correcta.

Esta técnica es la forma en que generalmente se formaliza " $f$ iterado $n$ veces" en la aritmética de Peano (y entornos relacionados): Si $$\begin{align} g(m,0) &= m \\ g(m,s(n)) &= f(g(m,n)) \end{align}$$ entonces $g(m,n)=f^n(m)$ para todos $m$ y $n$ .