¿Aplicaciones del producto de la corona?

Question

Hace poco repasamos el producto de la corona en mi clase de teoría de grupos, pero la definición me sigue pareciendo un poco desmotivada. Las dos razones que veo para ello son: 1) nos permite construir nuevos grupos, y 2) podemos utilizarlo para reconstruir acciones de grupo imprimibles. ¿Hay alguna aplicación del producto corona fuera de la teoría de grupos pura?

Answer 1

No tengo muchos conocimientos sobre la teoría de autómatas, pero aquí hay un artículo que presenta la aplicación de los productos de la corona a los lenguajes racionales.

• Straubing, H. (1989). El producto corona y sus aplicaciones. En: Pin, J.E. (eds) Formal Properties of Finite Automata and Applications. LITP 1988. Lecture Notes in Computer Science, vol 386. Springer, Berlín, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/BFb0013108

Answer 2

Acabo de encontrarme con esto y quería añadir que los grupos de un relator y los productos de un relator se han estudiado mucho y aún quedan muchas conjeturas abiertas. En general, se trata de encontrar la solución a una ecuación en un sobregrupo. Aquí hay un tóerem que involucra el producto Wreath debido a Levin:

EL O R E M O . Deje que $G$ sea un grupo arbitrario, $C = gp(c)$ sea un grupo cíclico de orden $n$ . Una solución de la ecuación $xa_0xa_1 ... xa_{n-i}= 1$ , $a_i\in G$ viene dada por $c^{-1}f \in G Wr C$ , donde $f(c^i)=a_i^{-1}$ , $i= 1,...,n-1.$

Answer 3

Aquí hay dos lugares en los que el producto de la corona se utiliza en aplicaciones "reales".

• La teoría de la representación de $S_m\wr S_n$ puede utilizarse para probar los resultados de las votaciones de los comités de un determinado tipo. (Publicado en https://doi.org/10.1016/j.aam.2020.102077 )
• El producto de la corona se ha utilizado para analizar diversas cuestiones de teoría musical; véase El artículo de Peck para una encuesta.

En ambos casos, básicamente el objeto de estudio y sus simetrías obligaban a considerar el producto de la corona en lugar de un grupo simétrico mayor. Creo que eso está muy bien.