Hace poco repasamos el producto de la corona en mi clase de teoría de grupos, pero la definición me sigue pareciendo un poco desmotivada. Las dos razones que veo para ello son: 1) nos permite construir nuevos grupos, y 2) podemos utilizarlo para reconstruir acciones de grupo imprimibles. ¿Hay alguna aplicación del producto corona fuera de la teoría de grupos pura?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Lorin Hochstein
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Incluso dentro de la Teoría de Grupos, los productos de las coronas tienen más intereses que los que tú apuntas; más adelante daré un par de ellos. Pero para responder a tu pregunta, aunque quizá no de forma muy satisfactoria, se pueden definir los productos de corona de semigrupos precisamente de forma análoga a como se hace con los grupos. Los semigrupos están estrechamente relacionados con la teoría de los autómatas (que a su vez tiene muchas aplicaciones), y los productos de la corona pueden desempeñar un papel importante en el estudio y la construcción de autómatas.
Digo que puede no ser muy satisfactorio, porque suena como si dijera "¡Claro! Tiene muchas aplicaciones en "puro semi teoría de grupos"...
Pero dentro de la teoría de grupos, una propiedad muy importante de los productos de la corona es el teorema de Kaloujnine y Krasner:
Teorema. Dejemos que $H$ y $K$ ser cualquier grupo. Si $G$ es una extensión de $H$ por $K$ (es decir, $G$ contiene un subgrupo normal $N$ tal que $N\cong H$ y $G/N\cong K$ ), entonces $G$ es isomorfo a un subgrupo del producto corona $H\wr K$ . Eso es, $H\wr K$ contiene copias isomorfas de cada extensión de $H$ por $K$ .
En principio, si entiendes todos los grupos simples y entiendes todas las extensiones posibles de dos grupos dados (en términos de los grupos, quizás), entonces entiendes todos los grupos finitos. Aunque este "en principio" es inútil en la práctica, puede ser útil en circunstancias específicas.
Por ejemplo, el producto iterado de la corona de $\mathbf{Z}_p$ con sí mismo juega un papel importante en el estudio de $p$ -y se asocia a los grupos de $p$ -Subgrupos de simetría.
Onorio Catenacci
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No se trata exactamente de una aplicación, pero el grupo del cubo de Rubik permite entender la razón por la que los productos de las coronas son objetos de estudio interesantes y naturales.
El cubo tiene 8 cubos de esquina con tres caras cada uno, y 12 cubos de esquina con dos caras cada uno. Si se imaginan todas las permutaciones de las caras de los cubos de las esquinas que permutan los cubos y que además pueden rotarlos 120 o 240 grados, se obtiene un grupo $C$ que es el producto en corona (de permutación) de un grupo cíclico de orden 3 y el grupo simétrico $S_8$ y $|C| = 3^88!$ . Asimismo, el grupo $E$ de permutaciones de las caras de los cubos de las aristas que permutan los cubos y también pueden voltearlos 180 grados es el producto corona de un grupo cíclico de orden 2 y $S_{12}$ y tiene orden $2^{12}12!$ .
El propio grupo del cubo de Rubik es un subgrupo $G$ del producto directo $C \times E$ . Resulta que sólo $1/12$ de las posibles permutaciones en $C \times E$ son alcanzables sin tener que desmontar el cubo y reconstruirlo, por lo que $G$ tiene el índice 12 en $C \times E$ .
Bryan Roth
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Los productos de corona (iterados) se han utilizado recientemente para construir un nuevo tipo de representación de Galois. Un representación arbórea de Galois es un homomorfismo continuo del grupo de Galois absoluto de un campo al grupo de automorfismo de un árbol rooteado. Este tipo de representaciones se dan de forma natural en la dinámica aritmética, cuando se parte de un polinomio o función racional fija y se consideran sus iterados bajo composición.
Este documento de Boston y Jones ofrece una buena introducción a este tema.
wweicker
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El Grupo Lamplighter es un bonito grupo construido a través del producto corona. Es un ejemplo de grupo de crecimiento exponencial que sigue siendo amenable y la noción de amenidad ya no es pura teoría de grupos.
janmarqz
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Considere la producto de la corona permutada para demostrar dos teoremas clásicos de la teoría de grupos.
En primer lugar, dada una acción $G\times R\to R$ nos referimos a un mapa $(g,r)\mapsto\ ^gr$ que satisfacen:
a) $^1r=r$
b) $^{gh}r=\ ^g(^hr)$ ,
c) $^g(rs)=\ ^gr ^gs$ .
Así que podemos definir $R\rtimes G$ como el grupo con el conjunto de los que no se puede prescindir $R\times G$ y la operación $$(r,g)(s,h)=(r\ ^gs,gh).$$ El $R\rtimes G$ se llama producto semidirecto de $R,G$ .
Ahora supongamos que hay una acción de la izquierda $\Sigma\times G\to\Sigma$ especificado por $(x,g)\mapsto xg$ .
Dejemos que $A$ sea un grupo, y denotemos con $A^{\Sigma}$ el conjunto $\{f:\Sigma\to A\}$ que con la operación $f_1f_2(x)=f_1(x)f_2(x)$ el conjunto $A^{\Sigma}$ es el grupo naturalmente.
Así que podemos tener una acción $$G\times A^{\Sigma}\to A^{\Sigma},$$ por $$^gf(x)=f(xg).$$
Con esto, el producto de la corona permutada se define por $$A\wr G=A^{\Sigma}\rtimes G.$$
Esto se aprovecha para demostrar la Teoremas de los subgrupos de Nielsen - Schreier y Kurosh empleando las propiedades funcionales de $\wr$ ,
Para demostrar el teorema de Nielsen - Schreier, por ejemplo, uno es conducido a considerar la definición de la propiedad universal para grupos libres, obligándonos entonces a buscar un diagrama: 
para encontrar un único $\overline{\alpha}$ para cada $\alpha$ y cada $G$ lo que hace que el diagrama sea conmutativo: es decir $\alpha=\overline{\alpha}\circ i$ , donde $B$ es un conjunto de transversales de $F$ módulo $H$ .
La solución se codifica teniendo en cuenta un diagrama que parece:
donde naturalmente $$\overline{\alpha}=\pi_G\circ\alpha\!\wr\!\rho H\circ \varphi|_U,$$ es la extensión deseada, y donde $\Sigma$ son los cosets correctos $H\setminus G$ y $\rho: F\to S_{\Sigma}$ es un representación de permutación asociada de $F$ en el grupo simétrico de $\Sigma$ .
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