Producto de determinantes en la definición de la forma n

Question

Observando la serie "Lectures on the Geometric Anatomy of Physics" de Frederich Shullers, define el determinante de un Endomorfismo $\phi$ como

$$\det \phi = \frac{w(\phi(e_1),\ldots \phi(e_n))}{w(e_1, \ldots e_n)}$$

donde $w$ es la forma de volumen en algún espacio vectorial n dim V

He estado tratando de probar la propiedad que $$\det(\phi \odot \psi) = \det(\phi)\det(\psi)$$ pero he tenido problemas para hacerlo a través de esta definición. Parece que la antisimetría de $w$ es la clave, pero no sé cómo introducirla.

Answer 1

Efectivamente, puedes evitar los productos en cuña. Pero la cuestión está en otra parte.

El autor del vídeo barre algo de polvo bajo la alfombra.

La definición dada del determinante de un endomorfismo $\phi$ es de hecho la consecuencia del siguiente resultado:

$$\text{for any independent system} \ v_1 \cdots v_n, \ \frac{\det(\phi(v_1), \cdots \phi(v_n))}{\det(v_1 \cdots v_n)} \ \text{is a constant}$$

y a esta constante le damos el nombre de $\det(\phi)$ . $\square$

Por lo tanto, la primera cuestión es poder establecer este resultado...

Entonces, nos encontramos casi de inmediato:

$$\underbrace{\frac{\det(\psi \circ \phi(v_1), \cdots \psi \circ \phi(v_n))}{\det(v_1 \cdots v_n)}}_{\det(\psi \circ \phi)}=\underbrace{\frac{\det(\psi \circ \phi(v_1), \cdots \psi \circ \phi(v_n))}{\det(\phi(v_1), \cdots \phi(v_n))}}_{\det(\psi)}\underbrace{\frac{\det(\phi(v_1), \cdots \phi(v_n))}{\det(v_1 \cdots v_n)}}_{\det(\phi)}$$