Demostrar que todo ideal primo no nulo es maximal en $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$

Question

$d \in \mathbb{Z}$ es un entero libre de cuadrados ( $d \ne 1$ y $d$ no tiene factores de la forma $c^2$ excepto $c = \pm 1$ ), y que $R=\mathbb{Z}[\sqrt{d}]= \{ a+b\sqrt{d} \mid a,b \in \mathbb{Z} \}$ . Demostrar que todo ideal primo no nulo $P \subset R$ es un ideal máximo.

Tengo un posible esquema que creo que es lo suficientemente bueno para seguir.

Creo que primero tenemos que demostrar que todo ideal $I \subset R$ está generada finitamente.

Así que si $I$ es distinto de cero, entonces $I \cap \mathbb{Z}$ es un ideal no nulo en $\mathbb{Z}$ .

Entonces necesito encontrar $I \cap \mathbb{Z} = \{ xa \mid a \in \mathbb{Z} \}$ para algunos $x \in \mathbb{Z}$ . De esta manera, si dejo que $J$ sea el conjunto de todos los enteros $b$ tal que $a+b\sqrt{d} \in I$ para algunos $a\in \mathbb{Z}$ , entonces si existe un número entero $y$ tal que $J=\{ yt \mid t\in \mathbb{Z} \}$ entonces debe existir $s \in \mathbb{Z}$ tal que $s+y\sqrt{d} \in I$ .

Entonces todo lo que necesito mostrar es que $I = ( x,s+y\sqrt{d} )$ .

Ahora necesito derivar que el anillo de factores $R / P$ es un anillo finito sin divisores cero, también finito, entonces como todo dominio integral finito es un campo, todo ideal primo $P \subset R$ es un ideal máximo, entonces habré terminado.

Answer 1

Suena bien. Para demostrar que $I \cap \Bbb Z$ es un ideal no nulo, basta con observar que para $a+b\sqrt{d}\in I$ tienes $(a+b\sqrt{d})(a-b\sqrt{d}) = a^2 -db^2 =:n\in \Bbb Z \cap I$ . Ahora escribiendo $R = \Bbb Z[X]/(X^2-d)$ puede demostrar que $R/P$ es un cociente del anillo finito $(\Bbb Z / n\Bbb Z)[X]/(X^2-d)$ donde $X^2-d$ denota el polinomio reducido en $(\Bbb Z/n \Bbb Z)[X]$ . Así que, efectivamente, $R/P$ es finito sin divisores cero.

Answer 2

Si el ideal es primo, casi por definición el cociente no tiene divisores cero.

Por otra parte, dado que $R$ es un grupo abeliano generado finito, el cociente $R/P$ es también un grupo abeliano finitamente generado, y para demostrar que es finito basta con mostrar que $R/P$ tiene un exponente finito.

Si $P$ es distinto de cero, existe un elemento distinto de cero $x=a+b\sqrt d$ en $P$ y luego $e=a^2-db^2=(a-b\sqrt d)x\in P$ ; puede comprobar fácilmente que $e\neq0$ . Se deduce que el producto de cada elemento de $R/P$ por $e$ es cero, y por tanto el exponente del grupo abeliano $R/P$ divide $e$ .