En general, ¿cómo probar o refutar ciertos tipos de ideales?

Question

Últimamente me he encontrado con muchas preguntas que te preguntan si existen o no ciertos tipos de ideales, digamos; ¿existe un ideal $J$ de $\mathbb{Z}[i]$ para lo cual $\mathbb{Z}[i] /J$ es un campo de 8 elementos?

o para $R ={\{a + bi\sqrt3: a,b \in Z}\}$ muestran que hay un ideal $I$ de $R$ para que $R/I$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_7,$ pero ningún ideal para que $R/J$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_5$ ?

Me cuesta encontrar ejemplos en esas preguntas, y también en demostrar que son imposibles. ¿Hay alguna intuición para saber si tales cosas existen? y ¿algún enfoque estándar para responder a estas preguntas con ideales? ¿Una aproximación para empezar?

Answer 1

Para el caso de $\, \Bbb Z[i]\,$ : intenta demostrar lo bonito que es

Reclamación: Para cualquier $\,a+bi\in\Bbb Z[i]\,\,,\,\,\gcd(a,b)=1\,$ tenemos que

$$\Bbb Z[i]/\langle a+bi\rangle\,\cong\Bbb Z/(a^2+b^2)\Bbb Z=:\Bbb Z_{a^2+b^2}$$

Asumiendo lo anterior, la cuestión es ahora si podemos escribir $\,8=a^2+b^2\,,\,a,b\in\Bbb Z\,,\,(a,b)=1$ que no podemos...

¿Podría hacer algo similar con $\,\Bbb Z[\sqrt{-3}]\,$ ?

Answer 2

El anillo $\Bbb{Z}[i]$ es el anillo de enteros de $\Bbb{Q}(i)$ . Por lo tanto, encontrar un ideal tal que el cociente sea un campo de 8 elementos es imposible. Esto se debe a que dicho ideal debe ser primo, está sobre $2\Bbb{Z}$ y es de grado de inercia 3 pero esto es imposible porque viola la fórmula $\sum e_if_i = n$ . Tenemos $e_i$ siendo los índices de ramificación de los primos que se encuentran sobre $2\Bbb{Z}$ , $f_i$ los grados de inercia y $n = 2$ en este caso.