Cuestión de las curvas elípticas en forma proyectiva

Question

Dejemos que $K$ sea cualquier campo con Char $K \neq 2, 3$ , y que $\varepsilon : F ( X_0 ;X_1 ;X_2 ) = X_1^2 X_2- ( X_0^3 +AX_0 X_2^2 + BX_2^3 )$ ; con $A, B \in K$ , sea una curva elíptica. Sea $P$ sea un punto en $\varepsilon$ .

(a). Demuestre que $3P = \underline{o}$ , donde $\underline{o}$ es el punto en el infinito ( $(0,1,0)$ ) si y sólo si la línea tangente a $\varepsilon$ en $P$ se cruza con $\varepsilon$ sólo en $P$

(b). Demuestre que si $3P = \underline{o}$ entonces el 3 x 3 matriz $( \frac{\partial ^2 F}{\partial X_i \partial X_j}$ ) tiene un determinante $0$ . [Esta matriz se denomina matriz hessiana].

(c). Demostrar que hay a lo sumo nueve puntos de 3 torsiones sobre $K$

Tengo problemas para entender la notación de la proyección, ¡se agradece cualquier ayuda!

Answer 1

(a) Observe que $3P=O$ si $2P=-P$ . Para calcular $2P$ tienes que intersecar la línea tangente $t$ en $P$ con $\varepsilon$ . La línea $t$ se reunirá $\varepsilon$ en dos puntos, digamos $P$ y $Q$ porque ya cumple $\varepsilon$ en $P$ con multiplicidad $2$ . En cualquier caso, sabemos que $2P=-Q$ . Por lo tanto, si $2P=-P$ entonces significa que $Q=P$ y así $t$ se encuentra con $\varepsilon$ sólo en $P$ y a la inversa, si $t$ se encuentra con $\varepsilon$ sólo en $P$ entonces $Q=P$ y $2P=-P$ .

(c) Las entradas de la matriz hessiana $H$ son polinomios lineales, porque estás tomando segundas derivadas de un polinomio homogéneo de grado $3$ . Por la letra b), una condición necesaria para $P$ para ser un $3$ -El punto de torsión es que $(\det H)(P)=0$ . Ahora, $\det(H)$ es un polinomio homogéneo de grado $3$ por lo que una condición necesaria para $P$ para ser un punto de torsión es que es un cero de dos polinomios homogéneos de grado $3$ La primera es $\det (H)$ y el otro es $F$ . Así que estás viendo los puntos de intersección de dos cúbicos. Por el teorema de Bezout, hay como máximo $9$ tales puntos siempre que los dos cúbicos no tengan un componente en común. Pero como $F$ es una curva irreducible, esto sólo puede ocurrir si $\det (H)$ y $\varepsilon$ son la misma curva. Esto no puede ocurrir, ya que se puede comprobar que $(1\colon 0\colon 0)\notin \varepsilon$ mientras que pertenece a la cúbica definida por $\det (H)=0$ .