¿Por qué la mecánica cuántica utiliza el álgebra lineal?

Question

Actualmente estoy haciendo Álgebra Lineal con la esperanza de abordar algún día la QM, y necesito algo de motivación ahora para continuar en este empeño. La Universidad a la que asisto estableció esto como un prerrequisito para QM. Ahora he llegado hasta las proyecciones sobre subespacios en LA, pero no puedo entender por qué se me pide que haga las cosas que estoy haciendo en mi curso de Álgebra Lineal para mi futuro trabajo en QM; mis preguntas son las siguientes:

-> Recientemente he revisado el libro de Shankar sobre QM, y los capítulos iniciales parecen cubrir el Álgebra Lineal. Allí he visto que menciona Operadores Lineales/Espacios de Hilbert/Productos Internos, etc. Quiero saber, ¿qué se hace en QM que justifique el uso de estos? ¿Cuáles son sus interpretaciones físicas?

-> Buscando en Google, he visto que las notaciones de Bra-Ket tienen realmente que ver con los espacios vectoriales y los espacios duales, mientras que los operadores son enlaces entre ellos, he visto menciones de los espacios de Hilbert también ; entonces quiero saber, cómo el álgebra lineal, un campo aparentemente abstracto, se entrelaza con la Física [el estudio de los fenómenos naturales]

-> Las universidades también incluyen un libro como Linear Algebra Done Right como parte de su plan de estudios de QM a veces principalmente para hacer con los operadores. Ahora conozco los operadores de las transformaciones y todo eso, pero ¿qué tiene que ver con la QM? ¿Por qué necesitas operadores en forma de transformaciones aquí? y ¿por qué operadores lineales específicamente? ¿cuál es el significado físico de esto?

-> Por último, ¿qué papel juegan los problemas de valores propios de mi clase sobre LA más adelante en la QM? ¿Cómo se espera que los interprete y resuelva?

PhysSE no tenía un conjunto de preguntas como este antes, sólo quería escribir y obtener respuestas colectivas y coherentes de otros mucho más experimentados en este campo. Aunque también en Google, no obtuve una respuesta exacta, ya que todo se trataba de conferencias en línea / notas / recomendaciones de YouTube y lo que no.

No obtuve respuestas concretas, así que no se molesten por favor, sólo soy un principiante que busca motivación para continuar con los prerrequisitos antes de empezarlo de verdad. Es de esperar que otros estudiantes de primer año que empiecen LA también puedan encontrar este hilo útil [ Si crees que otras preguntas como las anteriores pueden ser útiles para tenerlas en mente en esta etapa, por favor comenta y comparte las respuestas también ].

Answer 1

Esta es una lista bastante amplia de preguntas, la construcción formal de la mecánica cuántica se apoya bastante en el álgebra lineal. Te será mucho más fácil aprender este tema si ya tienes una comprensión conceptual razonable de los temas que has enumerado. Justificar por qué El álgebra lineal, en particular, resulta ser un buen marco matemático para la mecánica cuántica, es una cuestión un poco filosófica, por lo que no la abordaré, pero le resumiré ampliamente la relación entre el álgebra lineal y la mecánica cuántica. Por supuesto, esto no será en absoluto completo ni riguroso.

El espacio estatal

• Dado un sistema cuántico, cada uno de los posibles estados en los que puede estar el sistema está representado por un vector en una dimensión (a menudo infinita) Espacio de Hilbert , denotado como $\mathcal{H}$ .

Cantidades observables

• A cada cantidad físicamente medible (por ejemplo, posición, momento, energía) le asociamos un autoadjunto en este espacio de Hilbert.

• Los operadores autoconjuntos tienen la propiedad especial de que sus valores propios son reales y que los vectores propios correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales.

Evolución del tiempo

• Dado un sistema cuántico en un estado $|\psi\rangle\in \mathcal{H}$ donde utilizamos la notación bra-ket $\bigl(|\psi\rangle$ es sólo un elemento del espacio de Hilbert $\mathcal H\bigr)$ podemos preguntarnos cómo evolucionará el sistema en el tiempo, esto viene dado por la Ecuación de Schrodinger : $$\mathrm i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle=\hat H|\psi\rangle$$ en el que $\hat H$ es un operador autoadjunto llamado Hamiltoniano que, siguiendo la prescripción de la sección anterior, corresponde al observable físico de la energía. Es decir, el hamiltoniano es un observable especial que dicta la evolución temporal de un sistema cuántico.

Medición

• Aquí es donde dejamos de hablar de álgebra lineal pura y hablamos de algo físico, todo lo que hemos definido arriba es suficiente para hablar del proceso de medición.

• En primer lugar, tenemos que elegir una cantidad para medir, digamos que medimos la posición de nuestro sistema. Es un axioma de la mecánica cuántica que:

1. Inmediatamente después de la medición, independientemente del estado en que se encontraba el sistema de antemano, el sistema se encontrará en un estado que es uno de los vectores propios de cualquier operador autoadjunto que corresponda al observable que estamos midiendo.

2. Exactamente a qué eigenvector "colapsa" el sistema después de la medición es fundamentalmente probabilístico, la probabilidad corresponde al cuadrado absoluto de la proyección del estado antes de la medición en el vector propio (este proceso es un poco más complicado si dos vectores propios corresponden al mismo valor propio).

3. El resultado numérico de esa medición será el valor propio correspondiente al vector propio dado en el primer punto. Por eso hemos restringido nuestra discusión a los operadores autoadjuntos, ya que se garantiza que sus valores propios son reales, y esperaríamos que el resultado de la medición fuera un valor real.

• A partir de aquí el sistema evoluciona en el tiempo como antes, según la ecuación de Schrodinger.

Funciones de onda

• Si eres un estudiante universitario, es probable que te introduzcas en las funciones de onda en lugar de en los espacios de Hilbert. Personalmente, me gustaría que fuera al revés, ya que estos últimos son más formales, pero es así. La correspondencia entre ambos es que el espacio de Hilbert definido anteriormente $\mathcal H$ es isomorfo al conjunto de funciones cuadradas integrables en un intervalo .

Por supuesto, hay mucho más en la mecánica cuántica de lo que he podido decir más arriba, esto pretende ser una orientación muy aproximada y amplia.

Answer 2

Si quieres estudiar mecánica cuántica, sigue trabajando en álgebra lineal y trata de entenderla realmente. Para resumir, se describe un sistema mecánico cuántico mediante un estado $|\psi\rangle$ que se escoge de un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ compuesto por todas las configuraciones posibles del sistema. En otras palabras, un estado corresponde a un vector de un espacio vectorial complejo. De tu clase de AL probablemente sepas que es posible expresar el mismo vector en diferentes bases: en QM se hace lo mismo expresando $|\psi\rangle$ como una combinación lineal de elementos de base de una ortonormal (ya que normalmente los estados se normalizan de forma que $\langle\psi|\psi\rangle=1$ ) que abarcan $\mathcal{H}$ . Operadores hermitianos que actúan sobre $\mathcal{H}$ entran en juego para describir observables físicos: una consecuencia de la hermiticidad es que los valores propios son reales, de hecho los valores propios de un operador son los únicos resultados de medición permitidos para una medición del observable físico asociado. Como consecuencia, los vectores propios correspondientes son los únicos estados permitidos después de la medición. Podría seguir con muchos otros ejemplos, como el hecho de que las probabilidades de los resultados de las mediciones se formulan en términos del valor absoluto de los productos escalares sobre $\mathcal{H}$ pero solo te sugiero que sigas estudiando álgebra lineal, tal vez no solo para estudiar mecánica cuántica en algún momento posterior :)

Answer 3

Intentaré ser lo más breve posible.

Recientemente he revisado el libro de Shankar sobre QM, y los capítulos iniciales parecen cubrir el Álgebra Lineal. Allí he visto que menciona Operadores lineales/Espacios de Hilbert/Productos internos, etc. Quiero saber ¿qué se hace en QM que justifique el uso de estos? ¿Cuáles son sus interpretaciones físicas?

En la mecánica cuántica, como su nombre indica, las cosas suelen ser cuantificado . En general, los procesos de cuantificación se abordan mejor con el uso de valor propio problemas. La ecuación independiente del tiempo de Schroedinger es una ecuación de valores propios, que tiene el siguiente aspecto: $$\Big(-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r}) \Big)\psi(\vec{r})=E\ \psi(\vec{r})$$ El operador que se aplica en el lado izquierdo se llama Hamiltoniano y es un lineal operador. La cantidad $\psi (\vec{r})$ se llama función propia del Hamiltoniano, y $E$ se llama valor propio correspondiente a la función propia .

Buscando en Google, he visto que las notaciones de Bra-Ket tienen realmente que ver con los espacios vectoriales y los espacios duales, mientras que los operadores son enlaces entre ellos, he visto menciones de los espacios de Hilbert también; entonces quiero saber, cómo el álgebra lineal, un campo aparentemente abstracto, se entrelaza con la Física [el estudio de los fenómenos naturales].

Como ves, la función propia del hamiltoniano de la que hablé es un vector en Hilbert y se necesita un número infinito de vectores base para abarcar completamente ese espacio vectorial (asumo que entiendes esto), porque ningún número finito es suficiente. Además, ya debería estar claro que el álgebra lineal es el lenguaje de la QM, ya que la ecuación de valores propios está afirmando valores de energía cuantificados.

Las universidades también incluyen un libro como Álgebra Lineal Bien Hecha como parte de su plan de estudios de QM, a veces principalmente en relación con los operadores. Ahora conozco los operadores de transformaciones y todo eso, pero ¿qué tiene que ver con QM? ¿Por qué necesitas operadores en forma de transformaciones aquí? y ¿por qué operadores lineales específicamente? ¿cuál es el significado físico de esto?

Creo que ya te he mostrado un ejemplo sencillo para esto.

Por último, ¿qué papel juegan los problemas de valores propios de mi clase sobre AL más adelante en QM? ¿Cómo se espera que los interprete y resuelva? y resolverlos?

Dado que la mayoría de las cantidades se cuantifican, como el momento angular, la energía, etc., es necesario saber cuáles son esos valores cuantificados. Esto se hace resolviendo el problema de los valores propios.

Además, existe otra forma de tratar la QM llamada Mecánica Matricial formulada por Heisenberg, que funciona totalmente en las matrices. El hamiltoniano es una matriz, el vector propio es una matriz y el valor propio es un número. Por lo tanto, es necesario conocer una gran cantidad de LA antes de poder dominar la QM.

Answer 4

El hamiltoniano es un operador en QM y el más importante. Se puede representar como una matriz.

Los vectores propios de esta matriz hamiltoniana serán los estados propios de su sistema, y los valores propios de esta matriz serán los niveles de energía de su sistema.

Así que el problema de los valores propios es el punto de partida más fundamental e importante en la QM, toda la QM se construye alrededor de esto. Y si tomas un curso de QM esto será casi lo único que harás. trabajarás con diferentes hamiltonianos para diferentes sistemas, y resolverás problemas de valores propios y verás las implicaciones físicas. Por lo tanto, la QM de grado es sólo álgebra lineal aplicada.

Answer 5

Le sugiero que lea algo de la historia de la QM. Heisenberg originalmente propuso matrices cuadradas de números para la posición $X$ y el impulso $P$ de la partícula en un oscilador armónico. Descubrió que había una forma divertida de obtener una matriz cuadrada similar para su producto $XP$ . Un amigo matemático (Max Born) le dijo que estas matrices se llamaban "matrices" y que su "forma divertida" se llamaba multiplicación de matrices y se había estudiado bastante en el siglo XIX. Todo comenzó a partir de ahí.