Demostrar que $G/N = \{1N\}$ si $G=N$

Question

Demostrar que $G/N = \{1N\}$ si $G=N$

Donde $N$ es un subgrupo normal de $G$ un grupo finito.

Tengo problemas para probar esto. ¿Podría alguien ayudarme? Gracias.

Answer 1

En la dirección no trivial, si $G/N=\{eN\}$ entonces para cualquier $g \in G$ : $gN=eN$ . Así que $gN \subseteq eN$ . Recuerde $gN = \{g\cdot n\ | n\in N\}$ . Por lo tanto, $g=g \cdot e \in gN \subseteq eN$ .

Es decir, existe algún $n \in N$ s.t. $g = e n$ Por lo tanto $g = n$ . ¿Qué podría decir entonces sobre $g$ y, por tanto, en la relación entre $G$ y $N$ ?