El conjunto de todas las funciones reales de una variable real

Question

¿Cómo puedo demostrar que el conjunto de todas las funciones reales de una variable real, o incluso que el conjunto de funciones que toman sólo los valores 0 y 1, es más que el continuo?

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Tengo una idea, pero no destaca por su rigor y formalidad. Supongo que el poder de todas las funciones reales es $\mathfrak{c}^\mathfrak{c}$ y la potencia de todas las funciones que toman sólo los valores 0 y 1 -- $2^\mathfrak{c}$ . Entonces, ¿cómo $$\mathfrak{c}^\mathfrak{c} = 2^{\aleph_{0}\mathfrak{c}}=2^\mathfrak{c}>\mathfrak{c}.$$ ¿Podría dar una prueba más rigurosa?

Answer 1

Dejemos que $S=\{f:\Bbb R\to\{0,1\}\}$ y que $\alpha:\Bbb R\to S$ sea suryente. Definir para cada $x\in\Bbb R$ $$f(x)=1-\alpha(x)(x)$$

Tenga en cuenta que $f\in S$ . Desde $\alpha$ es suryente, existe algún $y\in\Bbb R$ tal que $\alpha(y)=f$ . Entonces $$f(y)=1-\alpha(y)(y)=1-f(y)$$ que es una contradicción.

Nota: : Tenga en cuenta que $\Bbb R$ o incluso su cardinalidad, no juega ningún papel especial en la prueba, por lo que podría haber sido cualquier conjunto no vacío. Por lo tanto,

Si $X$ es un conjunto no vacío, el cardinal de $2^X$ es estrictamente mayor que el cardinal de $X$ .

Esta afirmación también es válida para $X=\emptyset$ ya que $2^0>0$ .

Answer 2

Dejemos que $S$ sea algún conjunto. Entonces $|2^S| > |S|$ , donde $2^S$ denota el conjunto de potencias de $S$ y el conjunto de funciones de $S$ à ${0,1}$ tiene una obvia biyección con el conjunto de potencias de $S$ .

Básicamente es una reducción de un paso al teorema de Cantor -- el conjunto de funciones de $\mathbb{R}$ à $\{0,1\}$ es igual en tamaño al conjunto de potencias de $\mathbb{R}$ .

$|2^S| > |S|$ es el teorema de Cantor. Para los vacíos $S$ comprobarlo manualmente. En el caso de que no esté vacío $S$ :

Claramente $|2^S|\geq |S|$ nota 1 . Por lo tanto, supongamos que existe una suryección $f:S\to2^S$ .

Definir $Q_f := \{ x \in S : x \notin f(x)\}$ el conjunto diagonal de Cantor de $f$ .

Por surjetividad, $\exists y \in A : f(y) = Q_f$ (aquí es donde uso el no-vacío).

O bien $y \in Q_f$ o $y \notin Q_f$ .

Si $y \in Q_f$ , entonces por construcción de $Q_f$ , $y \notin Q_f$ .

Si $y \notin Q_f$ entonces $y \notin f(y)$ y por definición de $Q_f$ tenemos $y \in Q_f$ .

Sólo se ha hecho una suposición, y tenemos una contradicción, por lo que no hay suryección de $S \to 2^S$ . Lo que significa que $2^S > S$ .

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1 $\{\{x\}\}$ está en $2^S$ para cada $x \in S$