Para jugar un partido de baloncesto, $10$ los niños de un parque infantil se dividen en
¿Cuántas divisiones diferentes son posibles? Esto no es un problema de deberes.
En general, estaba pensando en algo parecido a $$\binom{10}{x_1\ x_2} + \binom{10}{x_2\ x_1}$$
Pero tal y como está redactado este problema, no me queda claro si se trata de una sobrecontabilización porque tenemos $2$ equipos indistintos.
El libro de texto dice
(1) Aquí, tenemos $\displaystyle \binom{9}{4} = \dfrac{9!}{4!5!}$ . Lo que importa aquí es que sólo después de que un niño al que llamaremos "A" se posicione como capitán autoproclamado para elegir al resto de su equipo, los grupos se distinguen: El grupo de "A", y el de los rechazados de "A". Así pues, el capitán "A", de hecho, ha elegido a nueve $4$ para seleccionar a los otros cuatro niños de su grupo ahora identificable: el "equipo A". Los cinco niños no elegidos (rechazados por A) se convierten, por defecto, en la competencia del equipo A.
(2) Podemos utilizar el coeficiente binomial o su expresión equivalente como coeficiente multinomial: $\displaystyle \binom{10}{x_1} = \binom{10}{x_1, x_2} = \dfrac{10!}{x_1!\cdot x_2 !}$ porque $x_1 + x_2 = 10$ .
Una respuesta a la $5$ - $5$ el problema se puede escribir como $\frac{1}{2}\binom{10}{5}$ . Esto puede hacerse mediante una doble contabilidad deliberada, y dividiendo por $2$ para compensar.
Otra forma depende de un hecho que usted no conocía: Alicia es una de las $10$ gente, y le gusta dirigir las cosas.
Hay $\dbinom{9}{4}$ formas para que Alicia elija a las personas que formarán parte de su equipo. Así, el número de divisiones en dos equipos de $5$ es $\dbinom{9}{4}$ .
Es fácil comprobar que las dos respuestas son numéricamente iguales.
Para equipos "desequilibrados" de tamaños $x_1,x_2$ donde $x_1\ne x_2$ La situación es más sencilla. Hay $\dbinom{10}{x_1}$ formas de elegir quién estará en el equipo con $x_1$ gente, y ahora hemos terminado.
Sólo $5$ - $5$ requiere una consideración especial.
De hecho, hay que dividir por $2!$ porque los equipos no están etiquetados como $A$ o $B$ . Otra forma de ver esto. Digamos que hay un Juan en el grupo. Escogemos a los compañeros de equipo de Juan, eligiendo $9\choose 4$ =126. Esto también determina el otro equipo.
Para $(2)$ con $x_1\neq x_2$ John formará parte de un equipo con $x_1$ miembros o un equipo con $x_2$ miembros. A continuación, elegimos su equipo miembro restante $$ {9\choose x_1-1}+{9\choose x_2-1}. $$ Tenga en cuenta que en $$ {9\choose x_1-1}+{9\choose x_2-1}={10\choose x_1}. $$ Para ver esto, observe que ${n\choose k}={n\choose n-k}$ Así que $$ \begin{align} {9\choose x_2-1}&={9\choose 9-(x_2-1)}\\ &={9\choose 10-x_2}\\ &={9\choose x_1} \end{align} $$ Entonces aplica la regla de Pascal $$ {n\choose k}={n-1\choose k-1}+{n-1\choose k} $$ para mostrar
$$ \begin{align} {10\choose x_1}={10-1\choose x_1-1}+{10-1\choose x_1}= {9\choose x_1-1}+{9\choose x_1} = {9\choose x_1-1}+{9\choose x_2-1} \end{align} $$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
