Dos preguntas sobre los límites (en un ejercicio sobre la definición axiomática de la entropía)

Question

Tengo dos preguntas sobre los límites (estas preguntas surgen de una prueba que se puede encontrar en Páginas 43 y 44 respectivamente ).

Intentaré dejar claros los supuestos de cada pregunta, ya que se encuentran en una prueba bastante complicada. Es decir, escribiré todas las hipótesis que se encuentran en la prueba.

Primera pregunta:

Supongamos que $v_m \rightarrow 0$ .

Cómo demostrar que $$\lim_{M \rightarrow +\infty} \frac{\sum_{m=2}^M mv_m}{\sum_{m=1}^M m} = 0 \quad ?$$

ACTUALIZACIÓN: ¡Resuelto! (Usando el Teorema de Stolz) Por favor, vea la siguiente pregunta a continuación.

Segunda pregunta:

Cómo demostrar que

$$\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sum_{i=1}^{b_n}\alpha_i}{\log_2(n)}=0$$

dado que $$\lim_{m \rightarrow +\infty}\alpha_m = 0$$ y $$b_n \leq p\left( \frac{\log_2(n)}{\log_2(p)}+1 \right),$$ donde $p$ es un número primo (constante).

Sugerencia dada en el libro: el numerador tiene como máximo $o(\log_2(n))$ términos $\alpha_i$ . (Creo que esto es falso, ya que el cociente entre el numerador y $\log_2(n)$ no es cero...)

Gracias de antemano

Answer 1

Claramente $\frac {b_n} {log_2 (n)}$ está acotado. También $\lim \alpha_m =0$ implica que $\frac {\sum_1 ^{N} \alpha_i} {N} \to 0$ como $N \to \infty$ . Sea $|\frac {\sum_1 ^{N} \alpha_i} {N}| < \epsilon$ para $N \geq m$ . Si $b_n >m$ entonces $\frac {\sum_1 ^{b_n} \alpha_i} {b_n} < \epsilon$ . Ahora multiplica y divide por $\log_2 (n)$ y utilizar la acotación de $\frac {b_n} {log_2 (n)}$ . Por último, para tratar el caso $b_n \leq m$ simplemente hay que tener en cuenta que el numerador sigue estando acotado y el denominador $\log_2 (n) \to \infty$ . [ El numerador sólo puede tomar los valores $\alpha_1$ , $\alpha_1+\alpha_2$ ,..., $\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_m$ por lo que tiene un límite independiente de $n$ ].