Supongamos que tienes una cuadrícula de $30$ por $16$ y $99$ minas. ¿Cuál es la probabilidad de tener al menos un bloque vacío rodeado exactamente por $7$ minas?
Para efectos de esta pregunta, asumimos que las minas se generan al azar.
El número promedio de $7's$, que es ligeramente diferente.
Hay $14\times28 =392$ lugares para poner un $7$.
Hay ocho lugares para poner el no-mine.
Hay $9$ cuadrados involucrados con el $7$, así que $480-9=471$ otros cuadrados.
Estos otros cuadrados contienen las $92$ otras minas. Así que el número de cuadrículas con un $7$ en un lugar particular es $$8\times {471\choose 92}$$. Eso es de un total de ${{480}\choose{99}}$ diferentes cuadrículas.
La probabilidad de un $7$ en cualquiera de esos es $$\frac{{8\choose1}{480-9\choose 92}}{480\choose99}\approx 0.00006928$$ entonces el número promedio de $7's$ es $392$ veces eso, o aproximadamente $$0.02716$$ El número promedio de $8's$ sería $$\frac{392{471\choose91}}{480\choose99}\approx 0.0008219$$
Al aplicar la Desigualdad de Márkov, se muestra que la probabilidad de obtener un $7$ en un tablero generado aleatoriamente es menor o igual a $0.02716\ldots$.
@JimmyK4542 La pregunta interesante es si tener un 7 está altamente correlacionado o altamente anticorrelacionado con más 7. Si suponemos que no tienen correlación, entonces el 2.7% será bastante cercano a la posibilidad de obtener un 7, ya que el efecto de segundo orden será fracciones de un porcentaje.
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También, nunca he visto un 8. ¿Es incluso posible?
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Sí, creo que debería serlo.
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Interesante pregunta. No tengo ni idea de cómo resolverlo, pero es interesante. Sin embargo, hay algo en lo que debes prestar atención. Es posible que el Buscaminas utilice construcciones predefinidas y no verdadera aleatoriedad o un análogo de la misma. Por lo tanto, es posible que el tablero esté construido a partir de cuatro "paletas" diferentes que fueron diseñadas por los programadores para ciertos niveles de habilidad. ¡En ese caso, la probabilidad matemática puede depender del código del programa!
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@Steph Sí, recuerdo haber obtenido un 8 una vez.
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@TheGreatDuck Supongamos que es realmente aleatorio, entonces esta pregunta es increíble.
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Los buenos tiempos de Windows XP.....
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Buscaminas definitivamente generará un 8 si configuras un juego personalizado con un número de minas insano. Si no tiene un mecanismo para evitar que esto suceda, entonces esperaría que sea posible en las configuraciones estándar.