¿Qué es la topología de la convergencia puntual?

Question

¿Qué es la topología de la convergencia puntual? Se ha dicho en conferencias pero no estoy familiarizado con ella.

Answer 1

Dejemos que $F$ sea una familia de funciones de un conjunto $X$ a un espacio $Y$ . $F$ puede ser, por ejemplo, el conjunto de todas las funciones de $X$ a $Y$ o puede ser el conjunto de todas las funciones continuas de $X$ a $Y$ , si $X$ es un espacio topológico. Cada $f:X\to Y$ puede considerarse como un punto del producto cartesiano $Y^{|X|}$ . Para ver esto, para cada $x\in X$ dejar $Y_x$ sea una copia del espacio $Y$ . Entonces una función $f:X\to Y$ corresponde al punto en $\prod_{x\in X}Y_x$ cuyo $x$ -La coordenada número 1 es $f(x)$ , y por supuesto $\prod_{x\in X}Y_x$ es sólo el producto de $|X|$ copias de $Y$ es decir, $Y^{|X|}$ .

El producto $Y^{|X|}$ es un espacio topológico con la topología del producto; $F\subseteq Y^{|X|}$ Así que $F$ hereda una topología de la topología del producto en $Y^{|X|}$ . Esta topología heredada es la topología de convergencia puntual en $F$ .

Se puede demostrar fácilmente que una secuencia $\langle f_n:n\in\Bbb N\rangle$ en $F$ converge a algún $f\in F$ en esta topología si y sólo si para cada $x\in X$ , $\langle f_n(x):n\in\Bbb N\rangle$ converge a $f(x)$ en $Y$ . (En términos más generales, un red $\langle f_d:d\in D\rangle$ en $F$ converge a algún $f\in F$ si y sólo si para cada $x\in X$ la red $\langle f_d(x):x\in D\rangle$ converge a $f(x)$ en $Y$ . Esta es la razón de la punto de vista en el nombre.

Muy a menudo $Y$ es $\Bbb R^n$ o $\Bbb C^n$ para algunos $n$ y $X$ es un espacio topológico. La estructura topológica de $X$ no tiene ninguna relación con la topología de la convergencia puntual, aunque puede ayudar a determinar el conjunto $F$ de las funciones consideradas (por ejemplo, las continuas).

Answer 2

De Munkres Topología, segunda edición , $\S$ 46:

Definición.    Dado un punto $x$ del conjunto $X$ y un conjunto abierto $U$ del espacio $Y$ , dejemos que $$S(x,U)=\{f\mid f\in Y^X\hbox{ and }\ f(x)\in U\}.$$ Los conjuntos $S(x,U)$ son una subbase para a topología en $Y^X$ que se llama topolgoy de convergencia puntual (o el topología de punto abierto ).

Answer 3

La topología de convergencia puntual es una topología sobre un espacio de funciones. Sea $Z=Y^X$ sea el espacio de funciones de $X$ a $Y$ . Entonces una secuencia $(f_i)_{i\in \mathbb N}$ converge a una función $f$ si para todo $x\in X$ la secuencia $(f_i(x))$ converge a $f(x)$ .

Answer 4

Es una topología sobre las funciones de un espacio tal que una secuencia de funciones $\phi_n$ converge a $\phi$ si y sólo si para todo $x$ en el espacio la secuencia de puntos $\phi_n(x)$ converge a $\phi(x)$ .