En un grupo tenemos $abc=cba$ . ¿Es abeliano?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo tal que para cualquier $a,b,c\ne1$ : $$abc=cba$$ Es $G$ ¿Abelio?

Answer 1

Supongamos que $a,b\in G$ , $ab\ne 1$ y $a,b\ne 1$ . Entonces $1=ab(ab)^{-1}=(ab)^{-1}ba$ Así que $ba=ab$ . Por supuesto, si $ab=1$ entonces $b=a^{-1}$ y $ba=1$ y, por último, si uno de los $a,b$ es $1$ entonces también $ab=ba$ . Así que el grupo es abeliano.

Answer 2

La prueba es fácil de encontrar escribiendo ecuaciones $\,x = y\,$ en el formulario del "relator" $\,xy' = 1,\, $ para $\,y' = y^{-1}.\:$ Haciendo esto a continuación, buscamos transformar la $\rm\color{#0A0}{green}$ término en el $\rm\color{#C00}{red}$ y el valor de $\rm\:c\:$ que produce tal transformación es clara cuando se escribe de esta manera.

$$\begin{eqnarray} abc = cba &\iff&\color{#0A0} a&\color{#0A0} b&\color{#0A0} c&\color{#0A0}{ \!a'b'} &\color{#0A0}{\!\!c'} &=& \,1\\ &\iff& a& b& c& \!\!(ba)'&\!\!c' &=& \,1\\ &\ \ \Rightarrow&\color{#C00} a&\color{#C00} b& & &\!\!\!\!\!\!\!\color{#C00}{(ba)'} &=& \,1\quad\text{for}\ \ c\, =\, ba\\ &\iff& a&b&=& b\ a \end{eqnarray}$$

Nota: $\ $ Este método de emparejamiento de ecuaciones normalizado en forma de relator $\, r = 1\,$ resulta bastante útil a la hora de demostrar ecuaciones en grupos presentados por generadores y relaciones. Viendo los relacionadores como piezas de puzzle, podemos girarlos (conjugarlos) y encajarlos para formar un diagrama plano cuya frontera representa una prueba de la ecuación deseada. Un resultado básico de la teoría combinatoria de grupos implica que si una ecuación es consecuencia de las ecuaciones (relaciones) dadas, entonces la prueba puede representarse mediante un diagrama de "cancelación" de este tipo, conocido como Diagrama de Van-Kampen.

A continuación se muestra un sencillo diagrama de Van-Kampen. Se trata de una "prueba sin palabras" visual de

$$r= x^2yxy^3 = 1,\ s= y^2xyx^3 = 1\ \Rightarrow\ x^7 = 1$$

Las piezas del puzzle son los relatores $\,r,s.\,$ Para verificar la prueba basta con comprobar que al atravesar la frontera de cada región interior se obtiene un relator, y que al atravesar la frontera exterior se obtiene el relator buscado, aquí $\, x^7$ (invierta la etiqueta si atraviesa el borde opuesto a la dirección de su flecha).

$\qquad$

Answer 3

Si reformulamos la pregunta como sigue

Dejemos que $G$ sea un grupo, y $a,b,c \in G$ , Definamos dos triciclos: $\tau_1 = (abc)$ y $\tau_2 = (acb)$ para identificar la izquierda $(1)$ y el derecho $(2)$ lado de la igualdad dada.

Entonces, ¿no es obvio que, como $\tau_{1,2} \in \mathscr{S}_3 $ y $\mathscr{S}_3$ se sabe que no es conmutativo, la única condición que implicaría esta igualdad, es $G$ siendo abeliano ?