Un mínimo de $\sum \left|7x-1\right|$

Question

¿Cómo puedo evaluar el mínimo de $$ \left|7x-1\right|+\left|7y-5\right|+\left|7z-1\right| $$ si $x,y,z$ son reales no negativos tales que $ x+y+z=1$ y $y^2 \le 3xz$ ?

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Sin ayuda de softwares..

Answer 1

He aquí una manera de formalizar el argumento sugerido por Claude más arriba. Considere la posibilidad de reemplazar ambos $x, z$ con $t=\frac{x+z}2$ . Es evidente que el objetivo y la restricción $x+y+z=1$ no se ven perturbados, mientras que como $3t^2\ge 3xz$ ahora tenemos más holgura en la restricción restante. Así que para encontrar el óptimo, podemos establecer $x=z$ para tener el equivalente:

Minimizar $2|7x-1|+|7y-5|, \;$ tal que $2x+y=1$ y $\sqrt3x \ge y^2.\;$ Eliminar $y$ al establecer $y = 1-2x$ , por lo que tenemos $\sqrt3 x \ge 1-3x \implies x \ge 2-\sqrt3$ y ahora necesitan minimizar $28|x-\frac17|$ .

Como $2-\sqrt3 > \frac17$ el mínimo será cuando $x= z = 2-\sqrt3, \; y = 2\sqrt3-3$ para un valor mínimo de $52-28\sqrt3 \approx 3.50$ .

Answer 2

Una forma de abordar este problema es estudiar ocho casos, si cada una de las expresiones en valor absoluto es positiva o no y luego invocar los multiplicadores de Lagrange.