Si $X$ es un grafo localmente finito, (es decir, cada vértice tiene índice finito), ¿es cierto que el grupo de automorfismo Aut( $X$ ) del gráfico X es localmente compacto?
Aquí, Aut( $X$ ) tiene topología abierta compacta; y la topología de $X$ es la topología débil cuando consideramos $X$ como un complejo CW (ver. Hatcher, Algebraic Topology - Graphs and Free Groups).
Es cierto bajo la hipótesis adicional de que el gráfico localmente finito es conectado. Aquí la observación clave es que el estabilizador de cada vértice es compacto. Para demostrarlo, véase, por ejemplo, el lema 1 de este documento .
Sin embargo, la compacidad local no se cumple en general. Por ejemplo, si el conjunto de vértices es contablemente infinito y no hay aristas, entonces el grupo de automorfismo es sólo el grupo simétrico sobre un conjunto contable y se puede demostrar directamente a partir de la definición de la topología abierta compacta que la identidad no admite una vecindad compacta.
Más generalmente, la compacidad local se mantiene si hay un número finito de componentes conectados. Quizás la condición necesaria y suficiente es que sólo haya un número finito de componentes conectadas $X_i$ tal que $\operatorname{Aut} X_i$ ¿es no compacto?
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
