Es $ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{|\sin n|^n}n$ convergente

Question

¿Es la serie

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{|\sin n|^n}n\tag{1}$$

convergente

Si uno quiere usar la prueba de Abel, es

$$ \sum_{n=1}^\infty |\sin n|^n\tag{2}$$

convergente

Muchas gracias

Answer 1

La segunda serie es divergente porque el número irracional $\frac{\pi}{2}$ tiene un número infinito de convergentes $\frac{p_n}{q_n}$ con un denominador impar, por lo que $\left|\frac{p_n}{q_n}-\frac{\pi}{2}\right|\leq\frac{1}{q_n^2}$ da: $$ \left|\sin(p_n)\right| = \left|\sin\left(\frac{\pi}{2}q_n+\frac{\theta}{q_n}\right)\right|=\left|\cos\frac{\theta}{q_n}\right|,\quad |\theta|\leq 1,$$ $$ \left|\sin(p_n)\right|\geq 1-\frac{1}{q_n^2}$$ por lo que $\left|\sin n\right|^n$ es mayor que $\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n$ con una frecuencia infinita y las sumas parciales de $\sum_{n\in\mathbb{N}}\left|\sin n\right|^n$ no puede ser acotado. Sin embargo, no pueden crecer demasiado rápido: los experimentos numéricos dan

$$\sum_{n=1}^{N}\left|\sin n\right|^n=O\left(N^{1/2}\right)\tag{1}$$

(consistente con los límites de Weyl para las sumas parciales de $\sum_{n\in\mathbb{N}}e^{in^2}$ ) es suficiente para afirmar que $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left|\sin n\right|^n}{n}$$ converge por sumatoria parcial. Esto también es coherente con el modelo para el que $\left|\sin n\right|$ actúa como $\sin X$ donde $X$ es una variable aleatoria, distribuida uniformemente sobre $[0,\pi]$ : $$E\left[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(\sin X)^n}{n}\right]=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}-\log(1-\sin\theta)\,d\theta=\frac{4K}{\pi}+\log 2<+\infty.$$ Una posible estrategia para demostrar $(1)$ es demostrar primero, mediante el teorema de equidistribución de Weyl, que, siempre que $M$ es lo suficientemente grande:

$$\sum_{n=N+1}^{N+M}\left|\sin n\right|^r\approx \frac{M}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin^r\theta\,d\theta,\tag{2}$$

y luego explotar el hecho de que:

$$ \int_{0}^{\pi}\sin^r \theta\,d\theta = O\left(\frac{1}{\sqrt{r}}\right).\tag{3}$$

Al reunir $(2)$ y $(3)$ nos encontramos con que:

$$\sum_{i=1}^{M^2}\left|\sin n\right|^n\leq\sum_{j=0}^{M-1}\sum_{n=Mj+1}^{M(j+1)}\left|\sin n\right|^{Mj+1}\ll M\cdot\sum_{j=0}^{M-1}\frac{1}{\sqrt{Mj+1}}\ll M.\tag{4}$$

Además, como el sumo de la derivada de $\sin^r\theta$ en $[0,\pi]$ se comporta como $\sqrt{\frac{r}{e}}$ , llevando la cuenta de todas las constantes que obtenemos: $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left|\sin n\right|^n}{n}\leq\frac{2}{\sqrt{\pi}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{e}}\right)\zeta(3/2) = 4.73565\ldots$$ que no se aleja demasiado de la verdad (dada por la suma parcial y los cálculos numéricos explícitos hasta $n=10^8$ con un término de error $\frac{C}{10^4}$ ):

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left|\sin n\right|^n}{n}\leq \color{red}{2.151}.\tag{5}$$

Apéndice post-mortem : es interesante estudiar métodos numéricos a medida para el cálculo de estas series de conversión muy lenta .

Answer 2

Nota: Otra gran respuesta a este problema la da Terry Tao en este puesto de MO .

Answer 3

Descargo de responsabilidad: no es mi solución. Una respuesta elegante fue publicada por Robert Israel en aquí en MathOveflow. Aparentemente no se conoce una respuesta integral.