Cómo mostrar $\lim_{x \to -N} (x+N) \Gamma(x) $ = $(-1)^N/N!$ ?

Question

Estoy tratando de evaluar $\lim_{x \to -N} (x+N) \Gamma(x) $ = $(-1)^N/N!$ para N = 0, 1, 2, ... pero sigo obteniendo cero.

He intentado utilizar la definición de $\Gamma(x) = \Gamma(x+1)/x $ sin suerte.

¿Hay alguna identidad para la gamma que pueda utilizar para obtener el resultado deseado?

Answer 1

Suponiendo que se exponga al Fórmula de reflexión de Euler : $$ \Gamma(x) \Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)} \tag{1} $$ nos encontramos con que: $$ \lim_{x \to -n} (x+n)\Gamma(x) = \lim_{x\to-n} \frac{\pi (x+n)}{\sin(\pi x)}\frac{1}{\Gamma(1-x)} \stackrel{y=x+n}{=} \lim_{y \to 0} \frac{\pi y}{\sin(\pi y - \pi n)} \frac{1}{\Gamma(1 + n -y )} $$ Utilizar la identidad $\sin(\pi y - \pi n) =(-1)^n \sin(\pi y)$ , válida para los enteros $n$ concluimos que $$ \lim_{x \to -n} (x+n)\Gamma(x) = \frac{(-1)^n}{\Gamma(1+n)} \, \underbrace{ \lim_{y \to 0} \frac{\pi y}{\sin(\pi y)} }_{ \lim_{z\to 0} \frac{z}{\sin(z)}=1}= \frac{(-1)^n}{n!} $$

Answer 2

Dejemos que $L$ denotan el límite deseado. Escriba $(x+N)\Gamma(x)=\dfrac{\Gamma(x)}{(x+N)^{-1}}$ .

Recordemos que $\Gamma(x)$ tiene polos simples en los enteros no positivos, con residuo en $x=-N$ igual a $l=\frac{(-1)^N}{N!}.$ Así, cerca de $x=-N,$ podemos expresar $\Gamma(x)=\frac{l}{x+N}+h(x)$ con $h(x)$ holomorfo. Obtenemos

$$L=\lim_{x\to-N}\dfrac{\Gamma(x)}{(x+N)^{-1}}=\lim_{x\to-N}\dfrac{\frac{l}{x+N}+h(x)}{(x+N)^{-1}}=l+0=l,$$

como se desee. Por supuesto, el verdadero quid de la cuestión es demostrar que el residuo de la función gamma en $x=-N$ est $l.$ Te lo dejo, porque realmente es un bonito ejercicio sobre la idea de la continuación analítica.

Answer 3

Recordando los factoriales ascendentes y descendentes

$$ x^{(N)}=\frac{\Gamma(x+N)}{\Gamma(x)}\,,\quad (x)_N=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-N+1)}\,, \quad {(-a)}^{(N)} = {(-1)}^N {(a)}_{{N}}\,,$$

donde $ \Gamma(x+1)= x! \,.$

$$ (x+N)\Gamma(x)= \frac{\Gamma(x)(x+N)\Gamma(x+N)}{\Gamma(x+N)}=\frac{\Gamma(x)}{\Gamma(x+N)}(x+N)!=\frac{(x+N)!}{x^{(N)}}\,,$$

$$\Rightarrow (x+N)\Gamma(x) = \frac{(x+N)!}{x^{(N)}} $$

Tomando el límite de la ecuación anterior se obtiene

$$ \lim_{n\to \infty} (x+N)\Gamma(x) = \frac{0!}{(-N)^{(N)}} = \frac{1}{(-1)^N(N)_N}= \frac{1}{(-1)^N N!}\,.$$

Tenga en cuenta que, $(N)_N = N!\,,$ por la segunda identidad del factorial descendente.