Es el conjunto de todos los vectores de la forma $(a,b,c)$ donde $ab=ac$ un subespacio de $\mathbb{R}^3$ ?

Question

Por lo tanto, para demostrar que el conjunto $W$ , $W=\{(a,b,c)|ab=ac\}$ es un subespacio, tenemos que demostrar que es cerrado bajo adición y multiplicación escalar.

Pero, ¿cómo puedo verificar la condición en este caso?

Answer 1

Un breve argumento de que no es un subespacio viene dado por $(0,1,2)$ está en el conjunto $(1,1,1)$ está en el conjunto, pero su suma no lo está.

¿Cómo se puede pensar en esto? Vamos a inspeccionar: $ab = ac$ . ¿Cuándo es verdad? Si $a=0$ entonces es cierto para cualquier $b,c$ . Si $a$ es distinto de cero, entonces es cierto cuando $b=c$ .

Así, su conjunto es la unión del conjunto de vectores con $a=0$ (un plano) y el conjunto con $b=c$ (otro plano).

Si tomamos un vector en uno y otro vector en el otro, la suma de los dos estará normalmente fuera de cualquiera de los dos planos. (Haz un dibujo en 2D con líneas en lugar de planos).

Answer 2

Tenga en cuenta que $W = \{(0,b,c); a,b \in R \} \cup \{(a,b,c) \in R^2; b=c \}$ Por lo tanto, ¿cómo $A = \{(0,b,c); a,b \in R \}$ y $B =\{(a,b,c) \in R^2; b=c\}$ son subespaciales, $W$ es una subsapia si, sólo si, tenemos que $A \subset B$ o $B \subset A$ pero eso no es cierto.