Mi referencia favorita para la topología sin puntos es el nuevo libro
Marcos y locales: Topología sin puntos por Picado y Pultr.
Este libro es excelente para aquellos que quieren aprender sobre topología sin puntos por primera vez y como referencia para aquellos que ya están familiarizados con la topología sin puntos.
En cuanto a los resultados recientes en topología sin puntos, recientemente he estado investigando una dualidad en topología sin puntos. Mi nueva dualidad representa todos los marcos de dimensión cero como álgebras booleanas junto con límites superiores mínimos especificados.
Por lo tanto, definimos un sistema de admisibilidad booleano como un par $(B,\mathcal{A})$ tal que $\mathcal{A}$ es un subconjunto del conjunto de potencias $P(B)$ que satisfaga las siguientes propiedades.
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Si $R\in\mathcal{A}$ entonces $R$ tiene un límite superior mínimo.
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$\mathcal{A}$ contiene cada subconjunto finito de $P(B)$
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Si $R\in\mathcal{A},S\subseteq B,S\subseteq\downarrow\bigvee R=\{a\in B|a\leq\bigvee R\}$ y $R$ refina $S$ (es decir, para cada $r\in R$ hay un $s\in S$ con $r\leq s$ ), entonces $S\in\mathcal{A}$ también.
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Si $R\in\mathcal{A}$ y $R_{r}\in\mathcal{A},\bigvee R_{r}=r$ para $r\in R$ entonces $\bigcup_{r\in R}R_{r}\in\mathcal{A}$
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Si $R\in\mathcal{A}$ entonces $\{r\wedge a|r\in R\}\in\mathcal{A}$ para cada $a\in B$ .
Propiedad $1$ afirma que $\mathcal{A}$ es una colección de límites mínimos superiores y propiedades $2-5$ afirmar que $\mathcal{A}$ contiene todos los conjuntos con límites superiores mínimos que se desean incluir. Por ejemplo, en un álgebra booleana siempre se querrá incluir el mínimo límite superior de un conjunto finito. Axiomas $2-5$ eliminar todas las diferencias triviales entre los sistemas de admisibilidad booleanos. Un sistema de admisibilidad booleano $(B,\mathcal{A})$ se llama subcompleta si siempre que $R\cup S\in\mathcal{A}$ y $r\wedge s=0$ siempre que $r\in R,s\in S$ entonces $\bigvee R$ existe.
Recientemente he demostrado que la categoría de sistemas de admisibilidad booleanos es equivalente a la categoría de todos los pares $(L,A)$ tal que $L$ es un marco y $A$ es una subred booleana de $L$ que es una "base" para $L$ (es decir $A$ es una subred de $L$ consistente en elementos complementados donde cada elemento en $L$ es la unión de elementos en $A$ ). Esta equivalencia de categorías se restringe a una equivalencia entre la categoría de todos los marcos de dimensión cero y los sistemas de admisibilidad booleanos subcompletos.
Con esta dualidad, pude caracterizar las propiedades topológicas libres de puntos en términos de los correspondientes sistemas de admisibilidad booleanos. Estas propiedades incluyen la ultraparacompacidad, la ultranormalidad, $\kappa$ -marcos compactos de dimensión cero (donde $\kappa$ es un cardinal), los marcos extremadamente desconectados (como los sistemas de admisibilidad booleanos que son álgebras booleanas completas), Lindelof $P$ -frames(as $\sigma$ -completa), y otras propiedades.
Este resultado no tiene un análogo tan puntual, ya que muy raramente un sistema de admisibilidad booleano corresponde a un espacio de dimensión cero (es decir, a un marco espacial de dimensión cero). Los sistemas de admisibilidad booleanos que corresponden a topologías son precisamente los sistemas de admisibilidad booleanos subcompletos $(B,\mathcal{A})$ donde cada ideal cerrado bajo la toma de límites superiores mínimos en $\mathcal{A}$ puede extenderse a un ideal máximo cerrado bajo la toma de límites superiores mínimos en $\mathcal{A}$ . Esta propiedad puede ser caracterizada por una propiedad de distributividad muy fuerte y muy pocos sistemas de admisibilidad booleana satisfacen esta propiedad.
También debo señalar que se puede representar cualquier par $(L,A)$ donde $L$ es un marco y $A$ es una "base" para $L$ como el poset $A$ junto con los límites mínimos superiores especificados. Lamentablemente, aunque esta configuración es más general, todavía no he encontrado una manera de representar cualquier axioma de separación en términos de posets con límites mínimos superiores especificados.
