No he aprendido nada sobre los "objetos inyectivos", aunque me familiaricé con los grupos divisibles mientras intentaba entender Dejemos que $G$ sea cualquier grupo abeliano y $a\in{G}$ . Demuestre que existe un homomorfismo $f:G\rightarrow{\mathbb{Q}/\mathbb{Z}}$ tal que $f(a)\neq{0}$ . . ¿Puede alguien ayudarme a demostrar esta afirmación utilizando simplemente los teoremas "básicos" de los módulos? O quizás definiendo explícitamente un homomorfismo de un $\mathbb{Z}$ -módulo M a $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ ? Del enlace, me costó entender que podemos "definir" un homomorfismo arbitrario y no trivial de $<a>$ a $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ y que podemos extender a un subconjunto $U$ que contiene $<a>$ . ¿Podría alguien añadir algunos detalles aquí? Gracias.
Edición: Tengo algo más en mente; ¿Es cierto que $Hom(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\cong M$ ? Si es así, ¿por qué? ¿Podemos utilizar este hecho para demostrar lo anterior? Si es cierto, supongo que sí, ya que hemos supuesto que M no es un conjunto nulo. Creo que tal vez demostrando esto para un subgrupo cíclico $<a>$ para un $a \in M$ Entonces, usando algo como el Teorema Fundamental para Grupos Abelianos. Pero mi opinión es que no es cierto para "cualquier" grupo abeliano, ya que el FTAG sólo se aplica a los grupos abelianos finitos. Se agradecerá cualquier detalle.
