¿Cómo puedo evaluar $\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\log\left ( 1+\frac{k}{n^{2}} \right )$ ?

Question

Mi intento :

$$\begin{align} S &= \sum_{k=1}^{n} \log\left(1+\frac{k}{n^2}\right)\\ &= \log\left(\prod_{k=1}^{n} 1 + \frac{k}{n^2}\right) \\ &= \log\left(\prod_{k=1}^{n} \frac{n^2 + k}{n^2}\right)\\ &= \log\left(\frac{1}{n^2}\prod_{k=1}^{n} {n^2 + k}\right) \end{align}$$

¿Cómo puedo seguir? ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Sugerencia . Una forma elemental es utilizar la desigualdad $$ x-\frac{x^2}2 \le \ln(1+x)\le x,\qquad0\le x \le1, $$ dando $$ \frac{k}{n^2}-\frac{k^2}{2n^4} \le \ln \left( 1 +\frac{k}{n^2}\right)\le \frac{k}{n^2},\qquad0\le k \le n, $$ entonces se puede concluir con $$ \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2 $$ y el teorema del apretón.

Answer 2

Tenemos $$\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^{2}}\right)=\frac{1}{n^{2n}}\prod_{k=1}^{n}\left(n^{2}+k\right)=\frac{\left(n^{2}+1\right)_{n}}{n^{2n}}$$ donde $\left(x\right)_{m}$ es el Símbolo del martillo pilón y como $$\left(x\right)_{m}=\frac{\Gamma\left(x+m\right)}{\Gamma\left(x\right)}$$ tenemos $$\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^{2}}\right)=\frac{\Gamma\left(n^{2}+n+1\right)}{n^{2n}\Gamma\left(n^{2}+1\right)}\rightarrow\color{red}{\sqrt{e}}$$ como $n\rightarrow\infty$ , por La aproximación de Stirling .

Answer 3

Pista. Tenga en cuenta que para $x>0$ , $$x-\frac{x^2}{2} <\log(1+x)<x.$$

Answer 4

Multiplica n al cuadrado en ambos lados y luego ponlo en el logaritmo, obtendrás un límite para e, después de simplificar todo deberías obtener la mitad