Producto de álgebras sigma de Borel

Question

Si $X$ y $Y$ son espacios métricos separables, entonces el Borel $\sigma$ -Álgebra $B(X \times Y)$ del producto es el $\sigma$ -generada por $B(X)\times B(Y)$ . Me da vergüenza admitir que no sé las respuestas:

Pregunta 1. ¿Qué es un contraejemplo cuando $X$ y $Y$ no son separables?

Pregunta 2. Si $X$ es un espacio métrico discreto incontable, ¿ $B(X) \times B(X)$ generar el Borel $\sigma$ -álgebra en $X \times X$ ?

Pregunta 3. Si $X$ y $Y$ son espacios métricos, con $X$ separable, hace $B(X) \times B(Y)$ generar el Borel $\sigma$ -álgebra en $X \times Y$ ?

Answer 1

La respuesta a la pregunta 3 es sí. Al menos según el lema 6.4.2 del segundo volumen del libro de Bogachev "Teoría de la medida".

Requiere que ambos espacios sean Hausdorff y que uno de ellos tenga una base contable. No es necesario que sean espacios métricos.

Answer 2

Q1. Espacios discretos con cardinal > c ... entonces la diagonal es un conjunto de Borel, pero no en el producto sigma-álgebra.

Esto también responde a la P2 (no)

pero no el Q3.

Answer 3

Para cerrar una brecha: Por la respuesta de Gerald Edgar, sabemos que la respuesta a la segunda pregunta es no si los espacios implicados tienen cardinalidad mayor que $\mathfrak{c}$ . Esto deja abierto lo que sucede cuando hacer tienen cardinalidad $\mathfrak{c}$ . La respuesta es sí bajo la hipótesis del continuo, y en general se sostiene que $2^{\omega_1}\otimes 2^{\omega_1}=2^{\omega_1\times\omega_1}$ . Esto se demostró en

B. V. Rao, Sobre espacios discretos de Borel y conjuntos proyectivos El toro. Amer. Math. Soc. Volumen 75, Número 3 (1969), 614-617.

En el notable libro de Bogachev, se puede encontrar como Proposición 3.10.2.

Answer 4

Esto debería ser más bien un comentario a la respuesta de Michael Greinecker, pero no tengo los privilegios necesarios.

La respuesta de Michael Greinecker deja abierto lo que ocurre con un espacio discreto de tamaño continuo cuando se hace no asumir la hipótesis del continuo.

Arnold W. Miller mostró en la sección 4 de Sobre la longitud de las jerarquías de Borel que es consistente ZFC relativa que ningún conjunto analítico universal $U \subset [0,1] \times [0,1]$ pertenece al producto $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{P}[0,1] \otimes \mathcal{P}[0,1]$ . Combinado con el resultado de Rao mencionado por Michael Greinecker, esto demuestra que $2^{\mathfrak{c \times c}} = 2^{\mathfrak{c}} \otimes 2^\mathfrak{c}$ es independiente de ZFC.

Véase mi respuesta a Conjuntos universalmente medibles de $\mathbb{R}^2$ en math.stackexchange.com para obtener resultados relacionados y más detalles y referencias.