¿Por qué $u(z)$ y $u(\bar{z})$ ¿simultáneamente armónico?

Question

Estoy intentando aprender un poco de análisis complejo, y esta idea me tiene atascado.

Me gustaría demostrar que, para $u$ una función de una variable compleja $z$ que $u(z)$ y $u(\bar{z})$ son simultáneamente armónicos.

Trato de escribir $u(z)=a(z)+ib(z)$ . Suponiendo que $u(z)$ es armónico, $$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0. $$ Además, creo que $$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 a}{\partial x^2}+i\frac{\partial^2 b}{\partial x^2}, \qquad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{\partial^2 a}{\partial y^2}+i\frac{\partial^2 b}{\partial y^2}. $$ No entiendo cómo usar esto para mostrar $u(z)$ y $u(\bar{z})$ son simultáneamente armónicos. ¿No son la misma función $u$ ? ¿No debería ser eso independiente de si se conecta $z$ o $\bar{z}$ ? Gracias.

Answer 1

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son suficientes para demostrar que $u$ es armónico. Definir $v(x,y)=u(\bar{z})$ .

Ahora $z\ne \bar{z}$ por lo que no hay razón para esperar $u(z)=u(\bar{z})$ (toma $u(z)=z$ y $z=i$ por ejemplo), por lo que no estamos viendo la misma función con $v(x,y)$ . Tenga en cuenta que $(\partial/\partial x)^2 v=v_{xx}=u_{xx}$ pero usando la regla de la cadena da:

$$v_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(-u_y\right(\bar{z}))=(-1)^{2}u_{xx}(\bar{z})$$

por lo que la armonización de $u(z)$ implica que de $u(\bar{z})$ . (Tenga en cuenta que he abusado de la distinción entre $\mathbb{C}$ y $\mathbb{R}^2$ bastante severo aquí).

Answer 2

Utiliza la regla de la cadena. Tenga en cuenta primero que $u(\overline{z}) = u\circ\overline{\cdot} = u(x,-y)$ . El $x$ derivado de $u\circ\overline{\cdot}$ es el mismo que el $x$ derivado de $u$ y el $y$ derivada recoge un factor de $-1$ tiene $(u\circ\overline{\cdot})_y = -u_y$ . El segundo $y$ derivado recoge otro $-1$ , lo que da $(u\circ\overline{\cdot})_{xx} + (-1)^2(u\circ\overline{\cdot})_{yy} = u_{xx} + u_{yy} = 0.$