¿Es posible que para un grupo de Lie (no abeliano), el subgrupo generado por cada elemento sea compacto?
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studiosus
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Propuesta. Supongamos que $G$ es un grupo de Lie conectado y $H< G$ es un subgrupo de Lie (cerrado) tal que cada elemento de $H$ tiene un orden finito (es decir $H$ es un grupo de torsión). Entonces $H$ es finito.
Prueba. Considero el caso cuando $G$ tiene centro finito (hazme saber si estás interesado en el caso general); entonces la representación adyacente de $G$ tiene un núcleo finito y envía $H$ a un subgrupo de Lie cerrado de $GL(n, {\mathbb R})$ . La imagen de $H$ sigue siendo un grupo de torsión. Por lo tanto, basta con considerar el caso $G= GL(n, {\mathbb R})$ .
Si $H$ tiene dimensión positiva, entonces elija un subespacio unidimensional $L$ en su álgebra de Lie. La restricción del mapa exponencial a $L$ tiene un núcleo discreto (trivial o ${\mathbb Z})$ de lo que se deduce que $\exp(L)$ tiene elementos de orden infinito.
Así, $H$ tiene que ser de dimensión cero, es decir, es un subgrupo discreto de $G$ en particular, $H$ es contable. Por supuesto, $S^1$ contiene subgrupos de torsión infinitos contables (por ejemplo, el grupo de raíces de la unidad). Por lo tanto, tendremos que utilizar la discreción.
Por el lema de Schur, todo subgrupo de torsión finitamente generado de un grupo matricial es finito. Dado que $H$ es contable, contiene una secuencia de subgrupos anidados finitamente generados $$ H_1< H_2<H_3< ... $$ cuya unión es $H$ . Cada $H_i$ es finito y, por tanto, compacto. Todos los subgrupos compactos de $G=GL(n, {\mathbb R})$ son conjugados a subgrupos del subgrupo compacto máximo estándar $O(n)< G$ . Así, cada $H_i$ está contenido en un conjugado $K_i$ de $O(n)$ . Con un poco más de trabajo (avísame si quieres verlo) se comprueba que los subgrupos $K_i$ puede elegirse de forma que para todos los casos suficientemente grandes $i, j$ , $K_i=K_j$ . En otras palabras, $H$ es conjugado a un subgrupo de $O(n)$ . Pero el grupo $O(n)$ es compacto, por lo que todo subgrupo discreto de $O(n)$ es finito. Por lo tanto, $H$ es finito. qed
Por supuesto, si permite que los grupos de Lie desconectados $G$ el resultado es falso: Existen incluso infinitos grupos de torsión finitamente generados (por ejemplo, el El monstruo de Tarski ver aquí para ver más ejemplos).
