Expectativa de las estadísticas de orden normalizadas

Question

¿Existe una manera de calcular cantidades de la forma $$\mu_k = \mathbf{E}\bigg[ \frac{X_{(k)}}{\sum_{i=1}^n X_i} \bigg]$$ donde el $X_i$ son variables aleatorias independientes distribuidas exponencialmente con media $\lambda=1$ y $X_{(k)}$ denota el $k$ -Estadística de orden ?

Answer 1

Su pregunta es realmente interesante. Si consideras el espacio de Sukhatme, entonces podrías obtener una respuesta. Ya que $X_1, \ldots, X_n$ son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas de $\mathrm{Exp(1)}$ , entonces los espacios de Sukhatme son simplemente $$S_1 = n X_{(1)}, \quad S_i = (n - i + 1) \left[X_{(i)} - X_{(i - 1)}\right]$$ para $i = 2, \ldots, n$ , de tal manera que $S_1, \ldots, S_n$ son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas de $\mathrm{Exp(1)}$ y $$\sum^n_{i = 1} S_i = \sum^n_{i = 1} X_{(i)} = \sum^n_{i = 1} X_i.$$

He aquí un intento de responder a su pregunta, que puede ser correcto o incorrecto . En el caso de $k = 1$ , defina $$Z_1 = \frac{S_1}{\sum^n_{i = 1} S_i} = \frac{S_1}{S_1 + \sum^n_{i = 2} S_i}$$ Desde $S_1$ sigue $\mathrm{Gamma}(1, 1)$ y $\sum^n_{i = 2} S_i$ sigue $\mathrm{Gamma}(n - 1, 1)$ entonces $Z_1$ sigue $\mathrm{Beta}(1, n - 1)$ . Por lo tanto, $E(Z_1) = n^{-1}$ Por lo tanto, $$\frac{1}{n} = E(Z_1) = E\left(\frac{S_1}{\sum^n_{i = 1} S_i}\right) = n E\left(\frac{X_{(1)}}{\sum^n_{i = 1} X_i}\right) \Rightarrow E\left(\frac{X_{(1)}}{\sum^n_{i = 1} X_i}\right) = \frac{1}{n^2}$$ En el caso de $k > 1$ , defina $$Z_k = \frac{S_k}{\sum^n_{i = 1} S_i} = \frac{S_k}{S_k + \sum^n_{i = 1, i \neq k} S_i}$$ Claramente, $E(Z_k) = n^{-1}$ . En consecuencia, $$n^{-1} = E(Z_k) = E\left(\frac{(n - k + 1) \left[X_{(k)} - X_{(k - 1)}\right]}{\sum^n_{i = 1} X_i}\right) \Rightarrow E\left(\frac{X_{(k)}}{\sum^n_{i = 1} X_i}\right) - E\left(\frac{X_{(k - 1)}}{\sum^n_{i = 1} X_i}\right) = \frac{1}{n (n - k + 1)}$$ En consecuencia, se pueden escribir las siguientes ecuaciones $$\begin{array}{l} E\left(\frac{X_{(k)}}{\sum^n_{i = 1} X_i}\right) - E\left(\frac{X_{(k - 1)}}{\sum^n_{i = 1} X_i}\right) = \frac{1}{n (n - k + 1)} \\ E\left(\frac{X_{(k - 1)}}{\sum^n_{i = 1} X_i}\right) - E\left(\frac{X_{(k - 2)}}{\sum^n_{i = 1} X_i}\right) = \frac{1}{n (n - (k - 1) + 1)} \\ \vdots \\ E\left(\frac{X_{(2)}}{\sum^n_{i = 1} X_i}\right) - E\left(\frac{X_{(1)}}{\sum^n_{i = 1} X_i}\right) = \frac{1}{n (n - 1)} \\ E\left(\frac{X_{(1)}}{\sum^n_{i = 1} X_i}\right) = \frac{1}{n^2} \\ \end{array}$$ Sumando las expresiones anteriores, se obtiene $$E\left(\frac{X_{(k)}}{\sum^n_{i = 1} X_i}\right) = \sum^{k}_{l = 1} \frac{1}{n (n - l + 1)}$$

Referencias: P. V. Sukhatme (1937), Pruebas de significación para muestras del $\chi^2$ población con dos grados de libertad, Ann. Eugenics 8, 52-56.