El $k$ -Las formas más fáciles de describir son las que tienen $k \in \{0,1,n-1,n\}$ . Una forma 0 en un $n$ -es una función. Una forma 1 en un $n$ -manifold, si lo imaginas en $n+1$ dimensiones, es como la disposición de las tejas en un tejado: En cada punto del colector, define una pendiente direccional, que como han dicho otras personas, es lo mismo que un vector dual en vectores tangentes. Un $n$ -forma es una densidad, es decir, una entidad que se puede integrar sobre el colector. Y una $(n-1)$ -forma es un flujo (como, por ejemplo, describir el petróleo que sale de un pozo): En cada punto tiene una dirección tangente nula, y asigna un volumen distinto de cero a cada sección transversal.
Por supuesto, puede pensar en cualquier $k$ -formar como $k$ -y para valores generales de $k$ también podrías hacerlo. Pero cuando $k$ es 1 o $n-1$ es algo más fácil visualizar la condición de que la forma sea cerrada. Una forma 1 es cerrada cuando las tejas se engranan localmente como la pendiente de un tejado liso, es decir, la forma es localmente integrable. Un $(n-1)$ -La forma es cerrada cuando el flujo es localmente conservador, como es el caso del flujo de fluidos. De hecho, el teorema Una forma cerrada y no nula $(n-1)$ -es equivalente a una foliación unidimensional con una estructura de volumen transversal.
La razón por la que otros valores de $k$ son más difíciles es que, aunque se obtiene una condición de integrabilidad algebraica totalmente análoga cuando la forma es cerrada, puede que no se obtenga el mismo tipo de integrabilidad geométrica. Una forma 1 no nula tiene una $(n-1)$ -en cada punto. (Aunque la visualización que sugerí está en $n+1$ dimensiones, también es cierto en $n$ dimensiones que estos hiperplanos tangentes engranan cuando la forma 1 es cerrada). Un valor no nulo $(n-1)$ -tiene un núcleo unidimensional en cada punto. Pero un $k$ -para otros valores de $k$ no suele tener un núcleo. (De acuerdo, una forma de máximo rango 2 en dimensiones Impares también tiene un núcleo de 1 dimensión, y es equivalente a una 1-foliación con una estructura simpléctica transversal).
He escuchado la afirmación de que sólo las formas 1 y 2 son buenas. (Bueno, es una exageración, pero son más importantes que las demás, excepto quizá $0$ y $n$ .) En particular, las formas simplécticas aparecen mucho, por lo que es importante tratar de imaginarlas aunque por definición no tengan núcleos. Pienso en una forma simpléctica como una calibración de una estructura compleja local. (O una estructura casi compleja, que podría ser todo lo que existe globalmente.) Es decir, entre los diferentes 2-planos tangentes de un simpléctico $2n$ -manifold, las que son líneas complejas tienen el mayor emparejamiento con la forma simpléctica, mientras que las que son planos reales tienen emparejamiento desvaneciente, y el mínimo de emparejamiento lo alcanzan las líneas complejas con la orientación equivocada.
Una observación más: La imagen geométrica de una foliación con una estructura de volumen transversal es válida para $k$ -que también son formas simples no nulas (es decir, productos de cuña de formas 1 linealmente independientes). Creo que es un teorema que cualquier $k$ -es localmente una suma de formas simples y cerradas $k$ -formas. Si eso es correcto, entonces también es una forma de visualizar una $k$ -como una superposición algebraica de foliaciones volumétricas. $k=1$ y $k=n-1$ son casos especiales en los que toda forma no nula es simple.
