¿Todas las funciones tienen un número infinito de límites?

Question

Originalmente entendí que los límites eran donde las funciones se dirigen hacia $\pm\infty$ a medida que se acercan a algunas $x$ y donde corren hacia (pero nunca tocan) algún valor específico (como $0$ ) como $x$ se acerca al infinito, con lo que ese valor es imposible de alcanzar (a límite una función no puede cruzar, en un La paradoja de Zenón -de la misma manera).

Ahora que estoy empezando a estudiar realmente el cálculo, estoy viendo que los límites son de alguna manera más amplios. Específicamente, ahora veo que los límites son siempre referidos en relación a alguna $x$ valor que se aproxima (como indica la notación convencional: $\lim_{x\to p} f(x)$ ). Pero, esto me hace parecer que se puede escoger cualquier valor (cualquier $p$ ) que quieras, que el límite es simplemente cualquier valor al que se acerque la función como $x$ se acerca a cualquier valor que hayas decidido elegir.

1. • ¿No significaría eso que las funciones tienen un número infinito de límites? (Después de todo, se puede encontrar un número infinito de puntos en una línea/curva).
   • Si es así, ¿qué hay de limitante en los "límites" entonces?
   • Además, ¿esto no haría que los límites fueran las cosas más estúpidamente obvias? Por ejemplo: $f(x)=x^2$ obviamente se acercará a $4$ al elegir $x$ valores cada vez más cercanos a $2$ ( $1.9, 1.99. 1.999, 1.9999, 1.99999,$ etc. )?
2. Si las funciones no tienen un número infinito de límites, entonces ¿cómo reconocer qué valores para $x$ ¿tiene sentido el enfoque?

Obviamente, las nociones preconcebidas pueden obstaculizar el aprendizaje de una cosa porque pueden enmarcar la información que estás tratando de integrar dentro de una perspectiva sin sentido, pero averiguar cómo deshacerse de esas nociones preconcebidas puede ser difícil cuando no entiendes en qué te has equivocado en primer lugar. ...oh, Dios, que alguien me ayude. Estoy atrapado en un bucle.

Answer 1

En primer lugar, ¡felicidades por ser un estudiante de matemáticas inquieto! Este tipo de preguntas son una de las más importantes que deberías hacerte a ti mismo y a los demás. Preguntas como "¿por qué es importante esto?" y "¿por qué se llama así?" son precisamente las que las matemáticas se trata de - es decir, no es un conjunto de reglas arbitrarias para molestar a los estudiantes, ¡todas las cosas se crearon por una razón!

¿Existen infinitos límites aburridos?

Tienes razón, la mayoría de las funciones "bonitas" definidas en un intervalo o en $\mathbb R$ tienen infinitos límites (ver la sección de comentarios para los contraejemplos) y sí, son "estúpidamente obvios" para funciones continuas es decir $$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$$ que suele ser también la definición de continuidad.

Pero luego hay muchos casos interesantes, por ejemplo, tratar de averiguar lo que está pasando por $\lim_{x\to 0} \sin(1/x)$ y $\lim_{x\to 0} x\sin(1/x)$ . Incluso si esto está más allá de su nivel, sólo pensar en las funciones y mirando sus gráficos te dará una idea de lo interesantes que pueden ser los límites. Uno de ellos es continuo en cero. ¿Cuál? ¿Por qué? ¿Qué ocurre con el otro?

$$\sin(1/x)$$ $\sin(1/x)$ " /> $$x\sin(1/x)$$

Además, también hay funciones que son discontinuas en todas partes . Sin embargo, suelen ser bastante difíciles de entender (aunque la función de Dirichlet es bastante accesible)

Incluso los límites "aburridos" son útiles

Pero incluso para funciones que no son tan interesantes como $\text{sgn}(x)$ , lo que le da el signo $x$ es decir, es $-1$ para los números negativos, $1$ para números positivos y $0$ para el cero, los límites son un concepto útil . Los límites unilaterales en el cero (que vienen de la izquierda y de la derecha) son $-1$ y $1$ respectivamente, mientras que el valor de la función es $0$ . Esto tiene un sentido intuitivo (¡dibújalo!) y, por lo tanto, tener un objeto matemático riguroso, el límite, para apoyar esta intuición es útil.

¿Por qué "limitar"?

No conozco la etimología correcta del término matemático "límite", pero la palabra inglesa proviene de la palabra "frontera", o "límite". Esto tiene sentido incluso para un límite "aburrido", como $\lim_{x\to 2} x^2$ - como usted mismo sugirió, puede abordarlo a través de la secuencia $1.9,1.99,1.999,\dots$ Es decir, te acercas cada vez más al punto límite. $2$ pero nunca lo tocan del todo aunque estés realizando infinitos pasos. En ese sentido, $2$ sería tu "límite", o la "frontera", que nunca alcanzas del todo.

Por último, ten en cuenta que nunca llegas a tocar el punto límite mientras te acercas al límite. Esto es importante: ¿qué pasaría si el punto fuera, por ejemplo, indefinido? Las respuestas de otros usuarios hacen más hincapié en este punto, asegúrate de leerlas.

Answer 2

Para las funciones típicamente utilizadas en los valores típicamente considerados, los límites y la evaluación son la misma cosa.

Más concretamente, las funciones "típicas" son continuo a valores "típicos", y tenemos un teorema (o definición)

Si $f$ es continua en $a$ entonces $\lim_{x \to a} f(x) = f(a) $

Límites generalizar esta noción; por ejemplo, si defino una función $f$ que es indefinido en $x=1$ pero satisface $f(x) = x+1$ siempre que $x \neq 1$ entonces el gráfico tiene el siguiente aspecto

El agujero se rellena fácilmente para hacer un gráfico continuo; el límite es una forma sistemática de determinar con precisión qué valor se necesita para rellenar el hueco: aquí,

$$ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 $$

Podríamos entonces definir una función $\bar{f}$ que es un extensión continua de $f$ rellenando el agujero:

$$ \bar{f}(x) = \begin{cases} f(x) & x \neq 1 \\ 2 & x = 1 \end{cases} $$

entonces los límites son, una vez más, una simple evaluación: por ejemplo

$$ \lim_{x \to 1} \bar{f}(x) = \bar{f}(1) $$

Por cierto, una fórmula de ejemplo para la función $f$ es

$$ f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} $$

y una fórmula para la extensión continua es

$$\bar{f}(x) = x+1 $$

Lo mismo ocurre con los límites en el infinito; un concepto importante en el análisis que a menudo no se enseña en las clases de introducción es el línea numérica ampliada cuyos puntos se llaman números reales extendidos. Se forma añadiendo dos nuevos puntos $+\infty$ y $-\infty$ en los "extremos" de la línea numérica ordinaria.

Hay un topológico definición de límite que se puede aplicar para funciones en la recta numérica extendida o que toman valores en los números reales extendidos (o ambos); la noción de límite es, una vez más, la de rellenar huecos. Y de nuevo nos interesa hacer extensiones continuas; por ejemplo, para definir $\arctan(+\infty) = \pi/2$ y $\arctan(-\infty) = -\pi/2$ .

La idea de "rellenar agujeros" se puede precisar utilizando la topología - en particular, en términos de la cierre de la gráfica de una función.

Answer 3

Creo que tienes la noción de que los límites son útiles para estudiar el comportamiento de una función en algunos puntos problemáticos como por ejemplo el comportamiento de $f(x) = 1/x$ en el punto problemático $0$ . Este es un buen comienzo y los matemáticos en realidad llevaron la idea un poco lejos y los límites se utilizan para estudiar el comportamiento de la función no sólo en los puntos problemáticos, sino también en normal puntos donde no hay problemas.

Más concretamente, cuando se trata del límite de un $f$ en un punto $c$ entonces somos no le interesa en absoluto la pregunta "¿Cuál es el valor de $f$ en $c$ ?" pero somos más bien interesado en estudiar los valores de $f$ en todos los puntos cercanos a $c$ . Así, mientras una función $f$ se define en todos los puntos cercanos a $c$ está bien hablar de su límite en $c$ . Por lo tanto, dependiendo de la función es posible hablar de su límite en muchos puntos. Así, por ejemplo, si $f(x) = x^{2}$ entonces podemos hablar de su límite en cualquier punto $c$ sin ningún problema. Por lo tanto, para utilizar su frase "las funciones pueden tener un número infinito de límites".

Ahora se pregunta: ¿qué es lo que limita los límites? Creo que la "parte limitante" viene del hecho de que el límite de $f$ en $c$ depende de los valores de $f$ en todos los puntos cercanos a $c$ pero no depende en absoluto de su valor en $c$ . Esto se expresa a veces por el hecho de que los valores de la variable (digamos $x$ ) que estamos tratando están limitadas (o digamos restringidas) para no llegar al punto $c$ . Por otro lado, algunos estudiantes piensan erróneamente que si $\lim_{x \to c}f(x) = L$ entonces $f(x)$ no puede alcanzar $L$ . Esto es incorrecto (basta con tomar cualquier función $f$ que es constante). La parte limitante está relacionada con la variable $x$ y no a los valores de la función $f(x)$ . Sin embargo, puede haber casos en los que $f(x)$ también está restringido para no alcanzar su límite $L$ pero no es necesario que sea así.

¿No es esto lo que hace que los límites sean lo más estúpidamente obvio? Ahora está hablando de funciones $f$ y puntos $c$ tal que $f$ no tiene un comportamiento problemático cerca de $c$ . Técnicamente decimos en este caso que $f$ es continua en $c$ y $\lim_{x \to c}f(x) = f(c)$ . Hay muchas funciones cuyo límite en un punto es igual a su valor en ese punto. Entonces, ¿por qué molestarse en estudiar el límite de tales funciones? Pues bien, estas funciones poseen muchas propiedades agradables que no son demasiado difíciles, pero que quizá no sean obvias.

Por ejemplo, dejemos $f$ sea una función continua en $c$ (Piensa $f(x) = x^{2}$ en $x = 2$ ) y también se supone que $f(c) > 0$ . Entonces se puede observar con un poco de esfuerzo que $f$ es positivo en todos los puntos cercanos a $c$ . Si $f(c) < 0$ entonces $f$ sería negativo en todos los puntos cercanos a $c$ . Así, las funciones continuas señales de conservación cerca del punto de continuidad. Consideremos ahora que la función $f$ es continua en todos los puntos de un intervalo $[a, b]$ . Entonces la magia sucede y es difícil demostrar que si $f(x) \neq 0$ para todos $x \in [a, b]$ entonces $f$ mantiene un signo constante en todo el intervalo $[a, b]$ . El hecho mencionado en la última frase no es obvio y puede no valer para funciones discontinuas. Hay muchas otras propiedades de las funciones continuas que ponen de relieve la necesidad de estudiar tales límites tontamente obvios .

Las funciones continuas garantizan que sus valores sólo cambian ligeramente cuando su argumento cambia ligeramente. Así no hay sorpresas. Por otro lado, consideremos la función $f(x) = 1/x$ cerca de $0$ . Si $x$ es positivo y está cerca de $0$ (decir $x = 0.00001$ ) entonces $f$ tiene un gran valor positivo. Cambie el valor de $x$ por una pequeña cantidad para hacer $x = -0.00001$ y luego el valor de $f$ es de repente un gran número negativo. Este tipo de pequeño cambio en el valor de $x$ conduce a un cambio muy grande en el valor de $f$ y esto es más bien un problema/una sorpresa para nosotros (pensemos en las historias de un rey que se convierte en mendigo al día siguiente, ¡quién querría eso!) Así que la continuidad es una propiedad deseable y merece la pena estudiarla.

Por último se pregunta: ¿cómo se reconocen los valores de $x$ ¿tiene sentido el enfoque? La respuesta es sencilla. Podemos hablar de $\lim_{x \to c}f(x)$ siempre que la función $f$ se define en una determinada vecindad de $c$ (excepto posiblemente en $c$ ). Los puntos $c$ para lo cual tiene sentido que $x$ para acercarse son aquellos puntos específicos cerca de los cuales se define la función.

Es mejor dar ejemplos. Dejemos que $f(x) = 1/x$ . Entonces, aunque $0$ es un punto problemático (porque $f$ no está definido allí), tiene sentido ver qué sucede cuando $x$ se acerca a $0$ . Tiene sentido porque además de $0$ $f$ se define en todos los puntos cercanos. Y $0$ es el único punto problemático, y el resto de los puntos están bien y para esta función también tiene sentido ver qué pasa cuando $x$ se acerca a un punto no nulo.

Ahora considere $f(x) = 1/\sin(1/x)$ . Aquí la función está definida en todos los puntos excepto $ x = 1/n\pi$ y puedes ver que tiene sentido ver lo que pasa cuando $x$ se acerca a $1/n\pi$ . Pero no tiene sentido ver lo que ocurre cuando $x$ se acerca a $0$ porque cada barrio de $0$ contiene estos puntos excepcionales $x = 1/n\pi$ donde $f$ no está definido. Así que para esta función no podemos hablar de $\lim_{x \to 0}f(x)$ .

Answer 4

¿No son los límites estúpidamente obvios?

Como complemento a la respuesta de Dahn Jahn, los límites parecen obvios ahora, pero antes no lo eran. Volviendo a lo que dices de que estás aprendiendo cálculo, el cálculo se inventó antes de que existieran los límites, sólo estaban implícitos. En el siglo XVII, cuando Newton y Leibniz desarrollaban el cálculo moderno, trabajaban con la idea de los infinitesimales. Trataban con lo que podían considerarse números muy, muy pequeños. Por razones muy obvias, no era muy riguroso ni estaba bien definido. Más tarde, en el siglo XIX, se exploró el concepto de límites y surgió la definición épsilon-delta. Esto ayudó a hacer más riguroso el cálculo y a extender los límites a otros campos de las matemáticas.

Answer 5

La respuesta de Dahn Jahn lo resume muy bien. Además, yo destacaría que los límites describen el comportamiento de una función cerca de un valor en el rango, pero no en el valor mismo. Si se toma una función $g(x) = x^2$ en todas partes, excepto que $g(2) = 5$ . cuál es el límite de esa función como $x$ se acerca cada vez más al 2?

Vale que parece que nos hemos desvivido por hacer $x = 2$ interesante para $g$ cuando para $f$ no es así, pero pone de manifiesto la razón central para considerar los límites en absoluto.

Precisamente porque los límites no se preocupan por el valor de la función en el punto límite, son tan interesantes cuando la función no está bien definida en el límite o sucede algo diferente en ese punto como en el caso anterior (una discontinuidad en $x = 2$ ).

La mayoría de las veces un límite es útil/interesante porque hay algo en la expresión de la función que intenta que se divida por cero, lo cual no está permitido y el cálculo primitivo estaba plagado de discusiones al respecto. La división de un número distinto de cero entre cero es una pregunta: ¿qué número, al ser multiplicado por cero, da 1? Ningún número lo hace. La división de cero por cero es igual de problemática: ¿qué número multiplicado por cero da cero? Todos ellos.

El cálculo era principalmente un método para ver la división de números cada vez más pequeños entre otros números cada vez más pequeños y ver lo que ocurría, y el límite era una forma de formalizar esto para que la división real por cero nunca ocurriera.

Del mismo modo, la noción de valor de una función "en el infinito" no está especialmente bien definida, sólo como abreviatura de otra cosa. De hecho, no todos los límites llevados al infinito muestran el tipo de comportamiento limitante que describes arriba. Consideremos, por ejemplo, la función $h(x) = 2$ . El límite de esta función cuando x tiende a $\infty$ es 2 y cada valor de la secuencia que generas para encontrar el límite es también 2. Este es un simple ejemplo de una función que alcanza su límite incluso cuando se toma un límite al infinito. También es una función que no se "acerca" a su límite - no se acerca a 2 más que a $x = 0$

El límite de una función como $x$ tiende al infinito puede expresarse (vagamente) como una pregunta: "si aumento $x$ sin límite ¿mi función también aumenta sin límite, oscila o se acerca tanto como yo quiera (y se queda para siempre así) a algún número real?" y esa es la esencia en la noción de límite al infinito.

El límite de una función como $x$ tiende a algún valor finito $p$ puede expresarse como una pregunta similar: "si consigo $x$ más cerca de $p$ (sin llegar a $p$ ) ¿mi función también aumenta o disminuye sin límite, oscila o se acerca tanto como yo quiera (y se queda para siempre así) a algún número real?" y esa es la esencia en la noción de una toma de límite a un punto finito. La única salvedad es que puedes acercarte a un punto finito desde arriba y desde abajo y si las dos aproximaciones no te dan el mismo valor entonces el límite no está definido.

Es cierto que toda esta maquinaria desarrollada para hacer frente a los casos interesantes (problemáticos) funciona también en otros puntos, aunque muchos límites resulten obvios. No has hecho nada malo al decir lo que es cierto: la mayoría de los límites te dicen muy poco de interés o al menos muy poco que no supieras ya - pero los que son interesantes son a menudo realmente muy interesantes.