Encontrar la covarianza cuando el valor esperado del producto es cero

Question

$W$ y $X$ son variables aleatorias y tienen el mismo espacio de probabilidad. Si $E(WX)$ es cero entonces cómo puedo demostrar que $\operatorname{cov} (W,X)$ ¿es cero?

Sé que $\operatorname{cov} (W,X) = E(WX)-E(w)E(X)$ pero cómo podemos decidir qué $E(W)$ y $E(X)$ ¿son? No sabemos si son dependientes o independientes.

Answer 1

Como bien dices, $${\rm Cov}(W, X) = E(WX) - E(W) E(X).$$ Si se le da ese $E(XW) = 0$ entonces ${\rm Cov}(W, X) =0 \iff E(W) = 0$ o $E(X) = 0$ . Tal vez debería considerar si $W$ o $X$ tienen un valor esperado de cero.

Answer 2

Tomemos como ejemplo las siguientes dos variables aleatorias discretas con las siguientes probabilidades: P(X=1)= 0,5 P(X=0)= 0,5 Y = 1 - X (En otros términos Y depende de X, y toma 0 si X toma 1 y toma 1 si X toma 0) Tenemos E(XY) = 0 E(X) = 0,5 y E(Y) = 0,5 por lo tanto COV(X,Y) = -0,25 (Por lo tanto COR(X,Y) = - 1 )

Eso demuestra que aunque E(XY) = 0 no significa que el COV(X,Y) sea también 0.