No puede haber un functor "álgebra libre", al menos en lo que creo que es el uso estándar. A saber, supongamos que "naranja" es un tipo de objeto algebraico, para el que existe un functor natural "olvidadizo" de objetos "naranja" a objetos "azul". Entonces el functor "naranja libre" de azul a naranja es el a la izquierda adjunto, si existe, al mapa olvidadizo de Naranja a Azul.
Supongamos que el mapa olvidadizo de las álgebras a los espacios vectoriales tuviera un adjunto izquierdo; entonces sería a su vez un adjunto derecho, y así preservaría los productos. Ahora bien, el producto en la categoría de álgebras es algo enorme -pensemos en el coproducto en la categoría de álgebras, que es una especie de producto gratuito - y está claro que el mapa del olvido no conserva los productos.
Por otro lado, el coproducto en la categoría de las álgebras viene dado por la suma directa de los espacios vectoriales subyacentes, por lo que el mapa olvidadizo sí preserva los coproductos. Esto sugiere que puede ser en sí mismo un adjunto izquierdo; es decir, puede tener un a la derecha adjunto de los espacios vectoriales a las álgebras, que debería llamarse "álgebra cofree" en un espacio vectorial.
Permítanme asumir el axioma de elección, para poder presentar la construcción en términos de una base. Entonces creo que la álgebra cofree en el espacio vectorial con base $L$ (por "letras") es el espacio vectorial graduado cuya base consiste en todas las palabras de $L$ con la comulgación dada por $\Delta(w) = \sum_{a,b| ab = w} a \otimes b$ , donde $a,b,w$ son palabras en $L$ . Es decir, la álgebra cofree tiene el mismo espacio vectorial subyacente que el álgebra libre, con la multiplicación dual. Está claro que para los espacios vectoriales de dimensión finita, la álgebra cofree en un espacio vectorial es (canónicamente isomorfa a) el dual graduado del álgebra libre en el espacio vectorial dual. De todos modos, esto es claramente una álgebra de carbón, y el mapa al espacio vectorial es cero en todas las palabras que no son singletons e identidad en los singletons. Sin embargo, no he comprobado la propiedad universal.
Editar: La descripción anterior del álgebra cofree es incorrecta. Aprendí la versión correcta de Alex Chirvasitu. La descripción es la siguiente. Sea $V$ sea un espacio vectorial, y escriba $\mathcal T(V)$ para el álgebra tensorial de $V$ es decir, para el álgebra asociativa libre generada por $V$ . Entonces el álgebra coasociada cofree cogenerada por $V$ se construye como sigue. En primer lugar, se construye $\mathcal T(V^\ast)$ y, en segundo lugar, construir su dual finito $\mathcal T(V^\ast)^\circ$ que es el límite directo de los duales a cocientes de dimensión finita de $\mathcal T(V^\ast)$ . Hay una inclusión natural $\mathcal T(V^\ast)^\circ \hookrightarrow \mathcal T(V^\ast)^\ast$ y un mapa natural $\mathcal T(V^\ast)^\ast \to V^{\ast\ast}$ dual a la inclusión $V^\ast \to \mathcal T(V^\ast)$ . Por último, construya $\operatorname{Cofree}(V)$ como la unión de todas las subcoalgebras de $\mathcal T(V^\ast)^\circ$ que se asignan a $V \subseteq V^{\ast\ast}$ bajo el mapa $\mathcal T(V^\ast)^\circ \hookrightarrow \mathcal T(V^\ast)^\ast \to V^{\ast\ast}$ . Los detalles se encuentran en la sección 6.4 (y específicamente en la 6.4.2) del libro Álgebras de Hopf por Moss E. Sweedler.
En cualquier caso, $\operatorname{Cofree}(V)$ es algo así como la álgebra de las "distribuciones finitamente soportadas en $V$ "(o, en todo caso, así es como se piensa en la versión cocomutativa). Por ejemplo, cuando $V = \mathbb k$ es unidimensional, y $\mathbb k = \bar{\mathbb k}$ es algebraicamente cerrado, entonces $\operatorname{Cofree}(V) = \bigoplus_{\kappa \in \mathbb k} \mathcal T(\mathbb k)$ . Debo enfatizar que ahora cuando escribo $\mathcal T(\mathbb k)$ en característica no nula no me refiero a darle la estructura del álgebra de Hopf. Más bien, $\mathcal T(\mathbb k)$ tiene una base $\lbrace x^{(n)}\rbrace$ y la comulgación es $x^{(n)} \mapsto \sum x^{(k)} \otimes x^{(n-k)}$ . Identificación de $x^{(n)} = x^n/n!$ , esta es la comulgación en el álgebra de la "potencia dividida". Es razonable pensar en la $\kappa$ como compuesto por polinomios (de potencia dividida) por $\exp(\kappa x)$ pero tal vez sea mejor pensar en ello como el álgebra de los descendientes de $\delta(x - \kappa)$ - pero esto es sólo una dualidad de Fourier.
En el caso no cerrado por el álgebra, también hay sumandos correspondientes a otros puntos cerrados de la recta afín. fin de la edición
Debo mencionar que, en mi opinión, la mayor diferencia entre las álgebras y las álgebras de carbón (con lo que me refiero, y supongo que tú también, a las "álgebras unitales asociativas en Vect" y a las "álgebras counitales coasociadas en Vect", respectivamente) es la de la finitud. En tu respuesta has insinuado la diferencia: si $A$ es una álgebra (counital coasociada) (en Vect), entonces es un colímite (suma) de sus subcoálgebras de dimensión finita, y además si $X$ es cualquier $A$ -comódulo, entonces $X$ es un colímite de sus subcomódulos de dimensión finita. Esto no es en absoluto cierto para las álgebras. No es cierto que toda álgebra sea un límite de sus álgebras cotizadas finitas. Un buen ejemplo es cualquier campo de dimensión infinita.
De la finitud de la teoría de la representación del núcleo se deduce que un álgebra puede reconstruirse a partir de su categoría de de dimensiones finitas presentaciones del núcleo. Sea $A$ sea una álgebra, $\text{f.d.comod}_A$ su categoría de códulos derechos de dimensión finita, y $F : \text{f.d.comod}_A \to \text{f.d.Vect}$ el evidente mapa del olvido. Entonces hay una álgebra $\operatorname{End}^\vee(F)$ definida como algún coigualador natural de la misma manera que el álgebra de transformaciones naturales $F\to F$ se define como algún ecualizador, y existe un isomorfismo canónico de álgebra $A \cong \operatorname{End}^\vee(F)$ . (Prueba: véase André Joyal y Ross Street, An introduction to Tannaka duality and quantum groups, Category theory (Como, 1990), Lecture Notes in Math., vol. 1488, Springer, Berlin, 1991, pp. 413-492. MR1173027 (93f:18015).
Para un álgebra, en cambio, conocer su teoría de representación de dimensión finita no es ni mucho menos suficiente para determinar el álgebra. De nuevo, el ejemplo es el de un campo de dimensiones infinitas (por ejemplo, el campo de las funciones racionales). Por otra parte, es cierto que conocer la completo La teoría de la representación de un álgebra determina el álgebra. En concreto, si $A$ es un álgebra (asociativa, unital) (en Vect), $\text{mod}_A$ su categoría de todos los módulos derechos, y $F: \text{mod}_A \to \text{Vect}$ el mapa del olvido, entonces hay un isomorfismo canónico $A \cong \operatorname{End}(F)$ . (Prueba: $F$ tiene un adjunto izquierdo, $V \mapsto V\otimes A$ . Pero $V \mapsto V\otimes \operatorname{End}(F)$ también es conjunta a la izquierda con $F$ . La estructura del álgebra proviene de la adjunción: el $\text{mod}_A$ mapa $A\otimes A \to A$ corresponde al mapa del espacio vectorial $\operatorname{id}: A\to A$ .) ((Tenga en cuenta que en realidad no necesita el completo teoría de la representación, que probablemente no existe fundacionalmente, pero se necesitan módulos al menos tan grandes como $A$ .))
Todo esto significa que si usted cree que casi todo es finito-dimensional, debe rechazar las álgebras como "erróneas" y las álgebras como "correctas", mientras que si le gustan los objetos infinitos-dimensionales, las álgebras son el camino a seguir.
