Encuentra todos los polinomios mónicos $f\left(x\right)\in F\left[x\right]$ con raíces distintas cerradas bajo la multiplicación.

Question

Supongamos que $F$ es un campo algebraicamente cerrado. Encuentra todos los polinomios mónicos $f\left(x\right)\in F\left[x\right]$ con raíces distintas tal que el conjunto de raíces de $f$ es cerrado bajo la multiplicación.

En $\mathbb{C}$ tenemos que el conjunto de polinomios del tipo $x^n-a$ tienen esta propiedad cuando las raíces son de la forma $\sqrt[n]{a}$ veces una potencia de la raíz n-ésima de la unidad. Pero, ¿cómo trabajamos con el caso general?

Answer 1

No puedes tomar $a$ arbitraria; la única $a$ que las obras deben ser $1$ .

Supongamos que las raíces son cerradas bajo la multiplicación, y que $\alpha \neq 0$ sea una raíz de $f(x)$ y $n = \deg f$ . Entonces el conjunto $$ \{ \alpha, \alpha^2, \alpha^3, \dots, \alpha^n, \alpha^{n+1}\} $$ debe contener dos elementos iguales, es decir, debe existir $1 \le i,j \le n+1$ tal que $i < j$ y $\alpha^i = \alpha^j$ , lo que significa que $\alpha^{j-i} = 1$ . Por lo tanto, las raíces de $f$ son raíces de la unidad.

Además, el conjunto de raíces es finito, cerrado bajo la multiplicación y los inversos (ya que si $\alpha^d = 1$ , $\alpha^{-1} = \alpha^{d-1}$ que está en el conjunto de raíces porque $\alpha^{d-1}$ es un producto de raíces de $f$ ). Esto significa que el conjunto de raíces forma un grupo bajo la multiplicación. Como este grupo es un subgrupo finito de $F^{\times}$ es un grupo cíclico, por lo tanto generado por un elemento $\alpha$ . Sea $d$ denotan el orden de $\alpha$ . Entonces las raíces de $f(x)$ son $\alpha, \alpha^2, \dots, \alpha^{d-1}, \alpha^d = 1$ .

Como las raíces son distintas, tenemos ahora dos posibilidades: o bien $0$ no es una raíz de $f$ y tenemos $f(x) = x^d -1$ , $d = n$ o $0$ es una raíz de $f$ y tenemos $f(x) = x^{d+1} - x$ , $d = n$ . (Gracias a anon por el comentario)

Desde $F$ es algebraicamente cerrado, todos los polinomios $x^n -1$ do split (con $n \neq \mathrm{char}(F)$ obviamente), por lo que los polinomios que se buscan deben ser $x^n-1$ para $n \in \Bbb N$ y $\mathrm{char}(F) \nmid n$ .

Espero que eso ayude,

Answer 2

Sugerencia: Si $\alpha$ es una raíz de $f(x)$ entonces $\alpha^2, \alpha^3, \dots$ son todas las raíces de $f$ . Concluir que $\alpha$ es una raíz de la unidad (¿por qué?).

Por el contrario, si $\alpha$ es una raíz de la unidad, demuestre que tal $f$ existe con $f(\alpha) = 0$ (esto debería ser sencillo).