Limitación de la distribución de $W_n = Z_n/n^2$ donde $Z_n\sim \chi^{2}(n).$

Question

El objetivo es encontrar la distribución límite de $W_n = Z_n/n^2$ donde $Z_n\sim \chi^{2}(n).$

Para ello, consideramos la función característica de $W_n$ que es, $$C_{W_n}(t) = E[e^{itW_n}]=E[e^{i\cdot \frac{t}{n^2}\cdot Z_n}] = C_{Z_n}\left(\frac{t}{n^2}\right) = \left(1-2i\cdot \frac{t^2}{n}\right)^{-n/2}\to 1.$$

Y así $W_n$ converge a una distribución degenerada cuya función característica es $1.$ ¿Es correcto este razonamiento?

Answer 1

Sí, es una posibilidad. También se puede utilizar la ley de los grandes números para demostrar que $n^{-2} Z_n \to 0$ en la distribución. Sea $X_j$ , $j \geq 1$ sean variables aleatorias gaussianas estándar independientes, entonces $Y_n := X_1^2+\ldots+X_n^2$ satisface $Y_n \sim \chi^2(n)$ . Por la fuerte ley de los grandes números,

$$\frac{1}{n} Y_n = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n X_j^2 \xrightarrow[]{n \to \infty} \mathbb{E}(X_1^2)=1,$$

y así

$$\frac{1}{n^2} Y_n \xrightarrow[]{n \to \infty} 0 \quad \text{a.s.}$$

En particular, $n^{-2} Y_n \to 0$ en la distribución. Ahora bien, si $Z_n \sim \chi^2(n)$ entonces $Y_n =Z_n$ en la distribución, y por lo tanto $n^{-2} Z_n \to 0$ en la distribución.