Dejemos que $\Gamma$ sea un conjunto finito, $\Omega=\Gamma^{\mathbb{N}}=\left\{(x_1,x_2,\ldots):~\forall i\in\mathbb{N} x_i\in\Gamma\right\}$ . Para $a_1,\ldots,a_N\in\Gamma$ dejar $$ [a_1,\ldots,a_N]:=\left\{(x_1,x_2,\ldots)\in\Gamma^{\mathbb{N}}: i=1,\ldots,N x_i=a_i\right\} $$ sea el $N$ -que se determina por $a_1,\ldots,a_N$ . Definir $$ \mathfrak{Z}_N:=\left\{[a_1,\ldots,a_N]: a_1,\ldots,a_N\in\Gamma\right\}. $$ Demuestra, que entonces $$ \mathfrak{S}:=\bigcup_{N=1}^{\infty}\mathfrak{Z}_N\cup\left\{\emptyset\right\} $$ es un semianillo para $\Omega$ .
¡Hola!
Hay que mostrar tres cosas:
(1) $\emptyset\in\mathfrak{S}$
(2) $A,B\in\mathfrak{S}\implies A\cap B\in\mathfrak{S}$
(3) $A,B\in\mathfrak{S}$ y $A\subset B\implies~\exists A_1,\ldots,A_n\in\mathfrak{S}$ disjuntos entre sí, de modo que $B\setminus A=A_1\cup\cdots\cup A_n$ .
Prueba. (1) está claro por la definición de $\mathfrak{S}$ .
(2) $A\in\mathfrak{S}$ es decir $A=[a_1,\ldots,a_N]$ para un $N\in\mathbb{N}$ y $a_1,\ldots,a_N\in\Gamma$ . $B\in\mathfrak{S}$ es decir $B=[b_1,\ldots,b_M]$ para un $M\in\mathbb{N}$ y $b_1,\ldots,b_M\in\Gamma$ . En mi opinión, entonces $$ A\cap B=\begin{cases}A, & N\leq M\wedge a_i=b_i, i=1,\ldots,N\\B, & M\leq N\wedge b_i=a_i, i=1,\ldots,M\\\emptyset, & \text{otherwise}\end{cases} $$ y $A,B,\emptyset\in\mathfrak{S}$ .
(3) $A,B\in\mathfrak{S}, A\subset B$ . Si $A\subset B$ Esto significa que para $A=[a_1,\ldots a_N]$ y $B=[b_1,\ldots,b_M]$ que $N\leq M$ y $a_i=b_i, i=1,\ldots,N$ . No estoy seguro, pero en mi opinión entonces $B\setminus A=\emptyset$ . Y así $B\setminus A$ puede escribirse como la unión disjunta de UN conjunto, concretamente el conjunto vacío.
Sería genial saber si mi prueba está bien.
Miro
