$f(t) = \cos t^{-1} + \int_t^\infty \frac{1}{\tau^2 + f(\tau)^2} d\tau$ implica que la integral es $O(\frac{1}{t})$

Question

La siguiente es una cita de "asymptotic methods in analysis" de de Bruijn (p. 136).

Si sabemos que la función real $f(t)$ satisface la relación $$f(t) = \cos t^{-1} + \int_t^\infty \frac{1}{\tau^2 + f(\tau)^2} d\tau \,\,\,\,\,\,\,\,\,(t > 1)$$ entonces se ve fácilmente que la integral es $O(t^{-1})$ .

El $O$ La notación es para $t \to \infty$ . Si $|f(t)| < t$ Puedo demostrar que la integral es $O(1)$ al factorizar $1/\tau^2$ del integrando y expandiendo el factor restante utilizando el teorema del binomio. Sin embargo, el autor no especifica ninguna condición adicional sobre $f(t)$ en absoluto. ¿Cómo puedo probarlo en general sin la condición de que $|f(t)| < t$ ?

Answer 1

Desde $f$ es de valor real, tenemos, para $0 < t \leqslant \tau$ ,

$$0 < \tau^2 \leqslant \tau^2 + f(\tau)^2,$$

y por lo tanto

$$0 < \int_t^\infty \frac{d\tau}{\tau^2 + f(\tau)^2} \leqslant \int_t^\infty \frac{d\tau}{\tau^2} = \frac{1}{t}.$$