El valor de $x^2+y^2+z^2+w^2$

Question

Dejemos que $x,y,z,w$ satisfacer $$\frac{x^2}{2^2 - 1^2} +\frac{y^2}{2^2 - 3^2} +\frac{z^2}{2^2 - 5^2} +\frac{w^2}{2^2 - 7^2} =1$$ $$\frac{x^2}{4^2 - 1^2} +\frac{y^2}{4^2 - 3^2} +\frac{z^2}{4^2 - 5^2} +\frac{w^2}{4^2 - 7^2} =1$$ $$\frac{x^2}{6^2 - 1^2} +\frac{y^2}{6^2 - 3^2} +\frac{z^2}{6^2 - 5^2} +\frac{w^2}{6^2 - 7^2} =1$$ $$\frac{x^2}{8^2 - 1^2} +\frac{y^2}{8^2 - 3^2} +\frac{z^2}{8^2 - 5^2} +\frac{w^2}{8^2 - 7^2} =1$$

Mi trabajo

$$\frac{x^2}{t - 1^2} +\frac{y^2}{t - 3^2} +\frac{z^2}{t - 5^2} +\frac{w^2}{t - 7^2} =1$$ donde $t $ satisfacer $4,16,36,64$ $$f(t)=0$$ $$f(t) = (t – 1)(t – 9)(t – 25)(t – 49)–x^2(t – 9)(t – 25)(t – 49) –y^2(t – 1)(t – 25)(t – 49) – z^2(t–1)(t–9)(t–49) – w^2(t–1)(t–9)(t–25)$$ entonces comparé el coeficiente con diferentes valores de $t$ . Quiero saber si hay algún método alternativo más fácil para esto.

Answer 1

Ampliar \begin{equation*} \frac{x^2}{t - 1^2} +\frac{y^2}{t - 3^2} +\frac{z^2}{t - 5^2} +\frac{w^2}{t - 7^2} =1 \end{equation*}

obtenemos \begin{equation*} (t-1^2)(t-3^2)(t-5^2)(t-7^2) - (t-3^2)(t-5^2)(t-7^2)x^2 - \text{ similar terms } = 0 \end{equation*} Esta biquadrática en $t$ tiene cuatro raíces $2^2, 4^2, 6^2, 8^2$ y el coeficiente de $t^3$ es $-(2^2+4^2+6^2+8^2)$ . El coeficiente de $t^3$ también viene dado por \begin{equation*} -(1^2+3^2+5^2+7^2) - (x^2+y^2+z^2+w^2) \end{equation*} y por lo tanto \begin{equation*} -(1^2+3^2+5^2+7^2) - (x^2+y^2+z^2+w^2) = -(2^2+4^2+6^2+8^2) \end{equation*} Por lo tanto, tenemos \begin{equation*} x^2+y^2+z^2+w^2 = (2^2+4^2+6^2+8^2)-(1^2+3^2+5^2+7^2)=36 \end{equation*}

Answer 2

Establecer una ecuación matricial $$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^{2}\\y^{2}\\z^{2}\\w^{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\1\\1\\1\end{bmatrix}$$ y luego resolver. Esencialmente puedes ignorar el hecho de que tus variables están elevadas al cuadrado, y simplemente asumir que eso significa que todas deben ser no negativas.

Answer 3

He multiplicado las ecuaciones para obtener:

$$\begin{pmatrix} -4725 & 2835 & 675 & 315 \\ 2079 & 4455 & -3465 & -945 \\ -3861 & -5005 & -12285 & 10395 \\ 32175 & 36855 & 51975 & 135135 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x^{2}\\y^{2}\\z^{2}\\w^{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14175 \\ 31185 \\ -135135 \\ 2027025 \\ \end{pmatrix}$$

Luego se invierte la matriz y se resuelve para obtener:

$$\begin{pmatrix} x^{2}\\y^{2}\\z^{2}\\w^{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10.76660156 \\ 10.15136719 \\ 8.797851563 \\ 6.284179688 \end{pmatrix} $$

dando $$x^2+y^2+z^2+w^2=36$$ - así que probablemente haya un atajo algebraico para eso.