Raíz cuadrada confusión: ¿por qué estoy recibiendo una respuesta si él ' trabaja?

Question

Bien, así que tengo $\sqrt{x-15} = 3-\sqrt{x}$. Yo primero cuadrado ambos lados para obtener $x-15 = (3-\sqrt{x})(3-\sqrt{x})$ que simplifica a $x-15 = 9 -6\sqrt{x} + x$.

Resolví $x$ y tiene $x = 16$, sin embargo, cuando la conecto, la ecuación no funciona. ¿Por qué sucede esto?

Answer 1

Usted hizo un buen trabajo en hacer lo que muchos se olvidan de hacer la comprobación de que la solución que usted propone en realidad es una solución.

Cada vez que usted cuadrado ambos lados de una ecuación, que potencialmente introducir nuevas soluciones que pueden o no pueden ser soluciones de la ecuación original. Considere el ejemplo simple $x=1$. Obviamente $x=1$ es la solución, pero el cuadrado ambos lados da $x^2 = 1$, que tiene soluciones de $x=\pm 1$. Más de $\mathbb{R}$ es definitivamente no es cierto que $-1=1$, lo $x=-1$ no puede ser una solución aquí.

Siempre se debe tener cuidado y comprobar su propuesta de soluciones a enchufarlos en la ecuación original, como usted ha hecho aquí.

De hecho, su ecuación en realidad no tiene soluciones, que es lo que se debe concluir cuando se le preguntó a resolverlo.

Answer 2

Antes de hacer algún cálculo, debe comprobar la condición de la variable. Aquí, usted tiene las condiciones $\begin{cases} x - 15 &\geq& 0, \\ 3 - \sqrt{x} &\geq& 0, \\ x \geq 0. \end{casos} $

Usted conseguirá que $x \geq 15$ y $0 \leq x \leq 9$. Por lo tanto, se puede concluir que la ecuación no tiene solución.

Answer 3

Lo que han hecho con su trabajo es probar:

(1) Si $x$ satisface la ecuación, a continuación,$x=16$.

Esta no es la misma cosa como

(2) $x$ satisface la ecuación si y sólo si $x = 16$.

Generalmente, los "problemas" de una ecuación de medios para producir una declaración como (2).

Sin embargo, generalmente, el método de la partida, con lo que se está tratando de resolver y hacer simplificaciones algebraicas sólo a los vientos hasta de probar algo como (1), y el trabajo adicional es necesaria para determinar la correcta declaración como (2).

Una forma típica de que el trabajo adicional es comprobar cada posibilidad de que la conclusión (aquí, $x=16$) para ver que en realidad son soluciones. Aquí, podemos eliminar la única posibilidad y obtener

$x$ satisface la ecuación si y sólo si (contradicción).

o, de forma más natural que sea su enunciado,

Que la ecuación no tiene soluciones para $x$.

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Uno de los casos donde el trabajo adicional que no es necesario es que si cada paso es "reversible"; es decir, su trabajo es una cadena de si y sólo si los pasos: por ejemplo, la resta es reversible, y

$3x + 1 = 5x - 2$ si y sólo si $1 = 2x - 2$

Un montón de álgebra básica ejercicios de pasar a ser resuelto a través reversible pasos, por lo que se puede llegar a la respuesta correcta sin llegar a aprender a razonar correctamente.

El cuadrado es (generalmente) no reversible.

Answer 4

¿Has comprobado el dominio de la primera?

Para $\sqrt{x-15}$ a que tienen un valor real, $x-15$ debe ser no negativo, por lo $x\ge 15$.

A continuación, el lado izquierdo es no negativo, por lo que el lado derecho debe ser no negatve, demasiado.

Y para $3-\sqrt{x}$ mayor que (o igual a) $0$, $\sqrt x$ no debe exceder $3$, por lo tanto $x\le 9$.

Conjunción de los requisitos de $$15 \le x \le 9$$ implica que la ecuación NO tiene solución real.

Editar

Comparar Wolfram Alpha parcelas de LHS frente lado derecho de la ecuación original

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+sqrt(x-15)+y+3-sqrt(x)

y al cuadrado:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+(x-15)+y+(3-sqrt(x))%5E2

Answer 5

A) En Matemáticas si usted comienza con un verdadero declaraciones, se aplican diferentes reglas, siempre obtendrá otros enunciados verdaderos. Sin embargo, si usted comienza a partir de una declaración falsa, entonces el resultado final puede ser verdadera o falsa.

Por ejemplo, supongamos que tenemos $x^2 = 2x$. Esto es cierto cuando se $x = 2$. Podemos cuadrado ambos lados para obtener $x^4 = 4x^2$, lo que también es cierto cuando se $x = 2$.

Supongamos que tenemos $x^2 = 2x$ nuevo. Esto es falso, al $x = 1$. Podemos cuadrado ambos lados para obtener $x^4 = 4x^2$, lo que puede ser verdadero o falso al $x = 1$. En este caso el $x^4 = 4x^2$ es falso cuando $x = 1$.

Supongamos que tenemos $x^2 = 2x$ nuevo. Esto es falso, al $x = -2$. Podemos cuadrado ambos lados se $x^4 = 4x^2$, lo que puede ser verdadero o falso al $x = -2$. En este caso el $x^4 = 4x^2$ es verdadera cuando $x = -2$.

Por lo tanto, dando ejemplos de las dos primeras frases.

B) Aquí se comenzó con $\sqrt{x-15} = 3 - \sqrt{x}$. Esto es falso, al $x = 16$, sin embargo, cuando se aplican varias reglas obtendrá $x = 16$, lo cual es cierto cuando se $x = 16$. Aquí usted comenzó con algo que es falso, y derivado de algo que es cierto! Pero no hay ninguna contradicción, porque a partir de una falsa que podemos llegar a una verdad.

Usted podría preguntarse cuál es el punto de la manipulación de una expresión si el resultado final podría ser verdaderas o falsas independientemente de si el original era verdadero o falso.

C) Bueno, si usted comienza con un verdadero declaraciones, se aplican diferentes reglas, usted nunca conseguirá una declaración falsa. Así que si usted comienza con una afirmación que puede ser verdadera o falsa, se aplican reglas diferentes, y el resultado final es falsa, entonces el original tuvo que ser falsa también.

Por ejemplo, si empezamos con los $\sqrt{x-15} = 3 - \sqrt{x}$ y supongamos que no sabemos si es cierto o falso al $x = 5$. I. e. no sabemos si $\sqrt{5-15} = 3 - \sqrt{5}$ es cierto. Podríamos cuadrado ambos lados y obtenga $5 = 16$. El resultado final era falso, por lo $\sqrt{5-15} = 3 - \sqrt{5}$ era falso así, es decir, $\sqrt{x-15} = 3 - \sqrt{x}$ es falso cuando $x = 5$.

Ahora usted puede hacer esto para cualquier $x$ con la excepción de $16$, mostrando ninguno de estos valores de trabajo. Así que cuando usted consiguió $x = 16$, no mostrando que $x$$16$, fueron mostrando que ningún otro valor podría ser una solución!

Cuando sustituido $x = 16$ y consiguió $1 = -1$, que mostraban $x = 16$ no funciona bien.

Por lo tanto la manipulación de una ecuación es útil para eliminar los valores. Una vez que se eliminan algunos de los valores, se debe sustituir todos los valores de la izquierda sobre la espalda en el original a ver si funcionan. (A menos que usted utiliza reversible pasos, entonces yo puedo demostrar que la sustitución no es necesario).