¿Cómo es $ \lim_{t \to \infty}\left(1+\frac{r}{t}\right)^{tn} = e^{rn} $ .

Question

¿Cómo se calcula este límite? $r$ es una constante. $$ \lim_{t \to \infty}\left(1+\frac{r}{t}\right)^{tn}$$

Answer 1

Cambiar la variable en el límite por $x=\frac tr$ . Sabemos que $$ \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} = e. $$ Ahora bien, si $t\to\infty$ podemos decir que $x\to\infty$ y nosotros sí: $$ \lim_{t \to \infty}\left(1+\frac{r}{t}\right)^{tn}= \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{xrn} = \lim_{x \to \infty}\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right)^{rn} =e^{rn} $$

Answer 2

Un límite muy básico es $$ \lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{r}{t}\right)^t=e^r $$ Desde la subida al $n$ -la potencia es continua, tiene $$ \lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{r}{t}\right)^{tn}= \lim_{t\to\infty}\left(\left(1+\frac{r}{t}\right)^t\right)^n= \left(\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{r}{t}\right)^t\right)^n=(e^r)^n= e^{rn} $$

Answer 3

Ampliar el término $(1 + \frac{r}{t})^{tn}$ por el teorema del binomio para un $t$ y luego tomar $t \rightarrow \infty$ .

Así que $$(1 + \frac{r}{t})^{tn} = 1 + {tn \choose 1} \frac{r}{t} + {tn \choose 2} (\frac{r}{t})^2 + \dots \\ = 1 + \frac{tn}{1!}\frac{r}{t} + \frac{tn(tn - 1)}{2!}(\frac{r}{t})^2 + \dots \\ = 1+ \frac{rn}{1!} + \frac{rn(rn - \frac{1}{t})}{2!} + \dots$$

Para los finitos $t$ obtendrás términos finitos. Ahora tome $t \rightarrow \infty $ y averiguar el límite.

Answer 4

Llama al límite y. Toma los logaritmos de ambos lados. En el lado izquierdo usa la regla de L Hopital. Ahora calcula y usando la definición de logaritmo.