¿Es un abuso del lenguaje decir "* el * enteros," "* los * números racionales," o "* los * números reales," etc..?

Question

Me estoy encontrando que más de matemáticas que puedo aprender, los conceptos más pensé que estaban bien definidos parecen ser intuitivo e ingenuo. Aquí estoy preguntando sobre si se trata de un abuso del lenguaje para referirse a "los números enteros," "los números racionales", o "los números reales". Esto es a lo que me refiero:

Supongamos, por el bien de la partida en algún lugar, que tenemos un conjunto que llamamos "números enteros" y denotan por $\mathbb Z$.

1. Podemos definir "los números racionales," que me denotar por $\mathbb Q$, como el conjunto de clases de equivalencia de pares ordenados de números enteros, donde $(a,b)$ es equivalente a $(c,d)$ si $ad = bc$. Pero ahora, cuando digo "los números enteros," no me refiero a la serie original $\mathbb Z$, o la imagen de este conjunto en $\mathbb Q$, es decir, la colección de clases de equivalencia de pares ordenados de la forma $(a,1)$ donde $a\in \mathbb Z$?

2. Podemos definir "los números reales," que me denotar por $\mathbb R$, como el conjunto de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales, donde $(a_n)$ es equivalente a $(b_n)$ si $a_n - b_n \to 0$. Pero ahora, cuando digo "los números racionales," no me refiero a la serie original $\mathbb Q$, o la imagen de este conjunto en $\mathbb R$, es decir, la colección de clases de equivalencia de las secuencias de la forma $(q,q,q,\dotsc)$ donde $q\in \mathbb Q$?

3. Podemos definir "los números complejos," que me denotar por $\mathbb C$, como el conjunto de clases de equivalencia de la polinomio anillo de $\mathbb R[X]$ donde $f(x)$ es equivalente a $g(x)$ si $(x^2 + 1) \mid (f(x) - g(x))$. Pero ahora, cuando digo "los números reales," no me refiero a la serie original $\mathbb R$, o la imagen de este conjunto en $\mathbb C$, es decir, la colección de clases de equivalencia de la constante de polinomios en $\mathbb R[X]$?

Y luego, por supuesto, puedo tomar establece más arriba en la lista y tratar de preguntar dónde encajan más abajo, por ejemplo, puedo preguntar si o no por $\mathbb Z$, me refiero a un subconjunto específico de $\mathbb R$, o un subconjunto específico de $\mathbb C$, etc. Yendo más allá, también puedo pedir, debido a un arbitrario integral de dominio $D$, por ejemplo, y dada su campo de fracciones de $F$, si o no, cuando digo "$D$" me refiero a la original de la integral de dominio o su imagen en $F$, etc.

¿Qué está pasando? El cual establece que se debe pensar cuando escucho a alguien decir "enteros" o "los números racionales"? Es esta una cuestión de aprender a no pensar de estos conjuntos o estructuras como único, sino más bien único hasta el isomorfismo? O único hasta el único isomorfismo? Así que cuando alguien dice "los números racionales," debería estar pensando en cualquier campo isomorfo a los números racionales? Siéntase libre de modificar etiquetas o comentarios.

Answer 1

Cómo usted probablemente debería pensar acerca de esto, la mayoría del tiempo -- y, ciertamente, el enfoque que parece ser más productivos para la mayoría de los ordinarios de la matemática, es que los números enteros, números reales y complejos los números existen en sí y de por sí en algunos "Platónico" sentido, independientemente de lo que pensamos de ellos.

El conjunto teórico construcciones que encontramos en los libros de texto de construir modelos de la Platonically los números existentes dentro de una pura teoría de conjuntos. Saber cómo hacer esto -- y, en particular, a sabiendas de que se puede hacer - es importante y que aporta muchas ventajas técnicas, pero no se debe dejar engañar en pensar que estos conjunto teórico de los modelos son: "¿qué números realmente son". Hacerlo sería una burla de los siglos y los milenios, donde los matemáticos razonar sobre los números sin que la teoría de conjuntos incluso después de haber sido inventado. Sería absurdo que Dedekind, Cantor, Zermelo, y otros matemáticos que trabajan en los siglos 19 y 20 fueron por primera vez a descubrir lo que Euclides, Euler, Gauss y así sucesivamente había realmente hablando.

Así para el común de las matemáticas el enfoque más útil es seguir pensando que todos los números reales (y el complejo también, si puede traerse a) sólo existe, que se puede poner a todos en un conjunto, y que los racionales y enteros son subconjuntos particulares de ellos.

Por supuesto, este "ingenuo" punto de vista no es suficiente para trabajar en un axioma que la teoría de conjuntos, lógica, o similar fundacionales áreas de las matemáticas. No estás interesado en lo bien que el conjunto de la teoría de la formalismo puede capturar nuestras ingenuas ideas acerca de los números enteros y números reales, y tal vez incluso en la medida en que el habitual Platónico de la creencia en la existencia de los números puede ser retenida cuando uno realmente piensa de él.

Es bueno ser capaz de hacer este tipo de cuestiones filosóficas, y saber lo suficiente como para empezar a responder a ellos.

Todo lo que estoy diciendo aquí es que no es productivo para dejar tan filosófica incertidumbre paralizar al hacer matemáticas fuera de la base de dominio. Uno de los beneficios de saber acerca de la fundamental de las teorías es que le permite relajarse y saber que cualquiera que sea el filosófico objeciones que uno pueda tener a tal-y-tal argumento en la vida cotidiana de las matemáticas puede ser manejado otro día, porque tenemos un buen modelo de los supuestos fundamentales que todos los días de las matemáticas depende.

Answer 2

Es esta una cuestión de aprender a no pensar de estos conjuntos o estructuras como único, sino más bien único hasta el isomorfismo? O único hasta el único isomorfismo?

Sí. Y dependiendo de lo que entendemos por "el", ni siquiera es un abuso de lenguaje!

---

(este post se supone una cierta familiaridad con las ideas de la categoría de teoría)

La "singularidad" de los números reales es un teorema que dice que si $A$ $B$ son cualquiera de las dos, ordenó a los campos, entonces existe un único isomorfismo $A \to B$.

Ahora, consideremos las siguientes dos subcategorías de la categoría de los anillos:

• la categoría de $\mathcal{A}$ de todas ordenó campos y isomorphisms entre ellos
• la categoría de $\mathcal{B}$ compuesto sólo de la completa ordenó campo $\mathbb{R}$ y su identidad mapa

La unicidad teorema anterior se puede reformularse diciendo que las categorías $\mathcal{A}$ $\mathcal{B}$ son equivalentes.

Hay una filosofía general en la categoría teoría de que la equivalencia es el "derecho" noción, en lugar de la igualdad o isomorfismo. Si tuviéramos un lenguaje adecuado para hacer matemáticas, no habría que distinguir entre el $\mathcal{A}$$\mathcal{B}$: sería perfectamente correcto hablar de la completa ordenó campo.

Desde esta perspectiva, que no es el estado actual de las cosas y en lugar de tener que hacer malabares con el transporte de las matemáticas que hacemos a lo largo única isomorphisms es simplemente un desafortunado accidente de la historia que la elevación de la noción de identidad a través de la equivalencia y que tuvo un impacto en cómo la matemática se ha desarrollado.

Answer 3

Todo depende de los teoremas de isomorfismo en cada nivel. Demuestran que cualquier dos conjuntos con las propiedades de los N, Z, Q, R, C son isomorfos. Por supuesto, los son isomorfismos que preservan sumas, productos, orden, integridad, siempre que las estructuras se definen.

Responder más directamente a su pregunta: sí, es un abuso del lenguaje, pero se justifica debido a los teoremas de isomorfismo. Los demostrando será un excelente ejercicio en su comprensión del tema.

Answer 4

La cuestión central aquí no es que estas estructuras son meramente "único hasta el isomorfismo," pero que son únicos hasta un único isomorfismo: dos modelos para cada una de las estructuras que mencionas son isomorfos entre sí de una manera única. Por lo tanto, (usando el sentido común) no hay realmente nada a freak acerca de las llamadas a $\mathbf R$ "de los" números reales pesar de que tiene varios modelos. Sería como llegar preocupado de que los que escriben $\mathbf R$ y los que escriben $\mathbb R$ podría, de alguna manera, la descripción de diferentes cosas.

Ninguna de las otras respuestas que están dando un ejemplo donde el uso del artículo definido no sería una buena idea, así que permítanme hacer eso: si alguna vez la construcción de una clausura algebraica $\overline{k}$ de un campo de $k$, sólo se debe hablar de $\overline{k}$ "algebraica de cierre" de $k$ más que "la expresión algebraica de cierre" de $k$ desde dos diferentes algebraicas cierres de $k$ son isomorfos $k$ , pero no de forma exclusiva, así que (si $k$ sí no es ya algebraicamente cerrado). Esta es una diferencia real entre la construcción algebraica de los cierres y los ejemplos que das.

Otro ejemplo: todos los cíclico grupos del mismo tamaño que son isomorfos, pero no de forma exclusiva, así que (si el tamaño es mayor que $2$). Por lo tanto, usted debe hablar de "un grupo cíclico de orden $n$" en lugar de "el grupo cíclico de orden $n$" (si $n > 2$). El cómputo de la importancia de este tema aparece en la forma en que algunos grupos cíclicos son usados en criptografía: para números primos $p$, los grupos de $\mathbf Z/(p-1)\mathbf Z$ $(\mathbf Z/p\mathbf Z)^\times$ son tanto cíclico de orden $p-1$ y por lo tanto son isomorfos como resumen de los grupos. Sin embargo, el cómputo de los grupos son muy diferentes: el primero tiene una "canónica" generador de $1$ y un plazo de dos generadores $a$ $b$ es muy fácil de solucionar $ax \equiv b \bmod p-1$$x$, mientras que no hay una fórmula simple para un generador de $(\mathbf Z/p\mathbf Z)^\times$ y si usted sabe de dos generadores $g$ $h$ parece ser un problema difícil de resolver $g^x \equiv h \bmod p$ $x$ (esto es, básicamente, el discreto registro de problema).

O usted podría hacer matemáticas en ruso y, a continuación, toda tu pregunta desaparece desde que el ruso no tiene artículos y, sin embargo, los Rusos parecen ser capaces de llevar a cabo las matemáticas en un nivel alto con bastante éxito.

Answer 5

Como se ha explicado ya, esto es, estrictamente hablando, un abuso de notación, una justificado de forma implícita (o Explícita, si le preguntas a) por referencia a los de la estructura de la preservación de los mapas. Equipo de programación ha proporcionado una excelente metáfora de lo que está pasando aquí: implícita tipo de coacción. Esto es lo que le permite escribir, e.g, 'X + 1', donde 'X' es de tipo "doble", y tienen la máquina de entender que significa realmente 'X + 1.0'.

Así, por ejemplo, los matemáticos han señalado que no hay una natural mapa de la Z a P - i.e 'n --> (n,1)' - de tal forma que los objetos en el lado derecho de '-->' se comportan de la misma manera aritmética como aquellos en el lado izquierdo (soy glosa sobre un montón de cosas aquí). Sobre esta base, han aprendido - y esperamos que usted en vez de aprender - que cuando se toma una 'n' de la Z y tratar de razonar sobre ella dentro de P, que 'n' debe ser traducido a '(n,1)' en su cabeza automáticamente, por costumbre. Por supuesto que nadie se explica esto de forma explícita durante su educación, se espera que usted acaba de 'recoger'.