Límite inferior de la norma de la matriz

Question

Tengo el siguiente problema: $A$ es una matriz simétrica definida positiva.

En primer lugar, tenía que encontrar una matriz $B$ tal que $B^n = A$ . Creo que esto es $C(D^{\frac1n}) C'$ donde C es la matriz ortogonal de vectores propios de $A$ y $A = CDC'$ .

Después de esto se me pide que encuentre un límite inferior para la norma de $B$ en función de la norma de $A$ . No se especifica qué norma tomar, pero por defecto tomé la norma espectral que me dio una igualdad en lugar de un límite, porque los valores propios de $A$ corresponden a los de $B$ .

¿Hay algo que se me escapa? Gracias de antemano.

Answer 1

Para la norma espectral, se puede escribir una relación directa entre la norma de $B$ y la norma de $A$ . Desde $A$ es simétrica y positiva-definida, la norma espectral de $A$ es simplemente el valor propio máximo de $A$ . Su $B$ también es simétrica y definida positivamente, por lo que su norma también es igual al valor propio máximo, que será $||A||^{\frac{1}{n}}$ .