¿Es todo anillo no conmutativo un subring de $\operatorname{End}(V)$ para algún espacio vectorial $V$ ?

Question

Dejemos que $R$ sea cualquier anillo no conmutativo sin ningún divisor cero no nulo. ¿Podemos decir que existe un espacio vectorial $V=V(R)$ sobre algún campo adecuado $K$ tal que $R$ es isomorfo a algún subring de $\operatorname{End}(V)$ . (El anillo R puede tener o no un elemento de identidad y $\operatorname{End}(V)$ es el conjunto de endomorfismos de $V$ .)

Answer 1

Para un anillo con identidad, la respuesta es afirmativa.

En un anillo primo con identidad, el centro es un dominio integral, y el subarreglo primo es un campo $F$ . Así que $R$ mismo es y $F$ espacio vectorial, y $R\cong End(R_R)\subseteq End(R_F)$ .

Tendré que pensar más en la posibilidad de no tener una identidad. No veo nada que lo excluya o lo confirme, por el momento.

Además, funciona para rngs sin divisores nulos no nulos, ya que todo anillo de este tipo se incrusta en un anillo con identidad y sin divisores nulos no nulos y esos son anillos primos, así que lo anterior se aplica de nuevo.

No estoy seguro de si existe un análogo para los anillos primarios, pero pienso investigarlo.