¿Asociatividad implica commutativity?

Question

Yo solía pensar que la conmutatividad y la asociatividad son dos propiedades distintas. Pero recientemente, empecé a pensar en algo que ha preocupado esta idea: $$(1+1)+1 = 1+ (1+1)\implies 2+1=1+2$$ Aquí, por medio de la asociatividad de la operación de adición, hemos mostrado conmutatividad.

En general, $$\underbrace{(1+1+\dots+1)}_{a \, 1\text{'s }}\ \ + \ \ \underbrace{(1+1+\dots+1)}_{b \, 1\text{'s }}=\underbrace{(1+1+\dots+1)}_{b \, 1\text{'s }}\ \ + \ \ \underbrace{(1+1+\dots+1)}_{a \, 1\text{'s }} \\ \implies a+b=b+a$$ Para cualquier natural $a,b$. Por lo tanto usando sólo la asociatividad podemos probar la conmutatividad. Que esto se puede hacer, es preocupante mucho de mí. De verdad es esto correcto? Si sí, entonces se asociatividad y conmutatividad estrechamente relacionados? O es porque de algunas otras propiedades de los números naturales? Si sí, entonces se puede hacer para otras estructuras así?

Answer 1

Bien hecho, has esencialmente redescubierto libre de objetos. En particular, lo que he observado es que en la semigroup libremente generada por un elemento ( $1$ ), además pasa a ser conmutativa.

En otras palabras: que haya esencialmente explicó por qué, además de en $\mathbb{Z}_{\geq 1}$ es conmutativa.

Pero, yo no diría que la asociatividad implica conmutatividad en general. Por ejemplo, la multiplicación de $2 \times 2$ matrices proporciona un ejemplo fundamental de una operación asociativa que no es conmutativa. Además, la no equivalencia de asociatividad y conmutatividad es claro, incluso si nos atenemos a la libre álgebras de:

• en el semigroup libremente generado por dos elementos (llamarlos $A$$B$), conmutatividad se produce un error en una gran forma. Por ejemplo, $A + B \neq B+A$ en este contexto.

• en la conmutativa magma libremente generada por un elemento ( $1$ ), la asociatividad falla en una gran forma. Por ejemplo, $(1+1)+(1+1) \neq ((1+1)+1)+1$ en este contexto.

Libre de álgebras son bastante complicadas, así que no se desanime si usted no 'get' de inmediato - nadie lo hace. Puede tomar un año o dos antes de que la idea verdaderamente se hunde en él, y casi de descubrir que usted sólo va a ayudar un poco en este sentido.

Usted puede encontrar esta pregunta útil para empezar.

Answer 2

Inteligente observación. Esto se llama un grupo cíclico (o la versión generalizada, libre de objetos). $ G $ dijo ser cíclico, si hay algún set $ s $, llamado el "elemento de generación", que

$$ G = \langle s \rangle = \{ n \in \mathbb{Z} : s^n \} = \{e, s, s^2, s^3, \ldots s^{-1}, s^{-2}, s^{-3}, \ldots \} $$

Es decir, todos los elementos pueden ser "generadas" desde un único elemento.

En este caso,$ s = 1 $, pero olvidemos por un momento, y considerar el caso general:

1. Son cíclicos objetos siempre abelian?

2. Son todos los grupos cíclicos?

1., la respuesta es relativamente simple: Sí. Para comprobar esto, podemos observar simplemente que $$ s^n s^m = \underbrace{sss\ldots s}_{n + m} = s^{n + m} = s^{m + n} = s^m s^n $$

Por lo tanto $ ab = ba $$ G $.

Ahora, para 2., la forma más fácil de demostrar que no todos los objetos algebraicos son cíclicos, es la construcción de un objeto que no es cíclico ni abelian. El ejemplo más sencillo es el grupo, $ G $, de funciones, $ \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, en virtud de la composición.

Usted puede ver fácilmente que es asociativa, al mismo tiempo, es relativamente fácil comprobar que este es, de hecho, no abelian (voy a dejar de hacerlo). Por lo tanto no puede ser cíclica.

Otro (más funky) forma en la que podemos ver que no es cíclico, es por Cantor de la diagonal argumento: Definir $ \mathbb{R} $$ \{ f \in G : f(0) \} $. Si $ G $ era cíclico, que sería capaz de enumerar los números reales, por $ \mathbb{R} = \{ n \in \mathbb{Z} : s^n(0) \} $, que no es posible, como se muestra por la diagonal argumento.

Un bono de: a Menudo las personas creen erróneamente que conmutatividad implica la asociatividad, pero que en realidad no es cierto! Considere la posibilidad de $ a * b = ab + 1 $. Esta es, obviamente, conmutativa, pero no es asociativa.

Answer 3

utilizando sólo la asociatividad podemos probar la conmutatividad

Bueno, en realidad no. También utiliza su conocimiento que cualquier número natural (pero no cero o negativo números!) puede ser expresado como una suma de 1s. Y no demostrar "conmutatividad" en general; se demostró "conmutatividad de la suma (de los números naturales)", que ya sabía a ser verdad de todos modos.

Un simple ejemplo de una operación que es asociativa, pero no es conmutativa ", además de las cadenas", como se define en la mayoría de los lenguajes de programación, es decir, la concatenación de cadenas. La concatenación es asociativa:

("abc" + "def") + "ghi" = "abcdefghi"
"abc" + ("def" + "ghi") = "abcdefghi"

Sin embargo, obviamente, no es conmutativa:

"abc" + "def" = "abcdef"
"def" + "abc" = "defabc"

Y viceversa: un ejemplo de una operación conmutativa, pero no asociativo es $x\star y = xy+1$.

$ (1 \estrella 2) = 3 \\ (2 \estrellas 1) = 3 \\ \text{pero} \\ (1 \2 estrellas) \estrellas 3 = 3 \estrellas 3 = 10 \\ 1 \la estrella (2 \estrellas 3) = 1 \estrella 7 = 8 $

Answer 4

Si usted tiene un grupo donde cada elemento es un poder/múltiples de un solo elemento, entonces será el grupo cíclico y, por tanto, Abelian. Parece que esto es lo que están haciendo. Recordemos que un grupo de $G$ se llama cíclico si $$ G = \{g^n : n\in \mathbb{Z}\}. $$ En efecto, entonces usted tiene que cualquiera de los dos elementos de la $h$ $k$ puede ser escrito $h = g^n$ $k = g^m$ para los números enteros $n$$m$. A continuación,$hk = g^ng^m = g^{n+m} = g^{m+n} = g^mg^n = kh$.

Nota, específicamente, que los enteros (en suma) es un grupo cíclico.

Pero, no, la asociatividad no implica la conmutatividad. Hay muchos ejemplos. No sea Abelian grupo: $n\times n$ matrices de más de (la mayoría) de los anillos, de permutación de grupos, ...

Answer 5

Un ejemplo estándar de estructura no conmutativa asociativa son matrices cuadradas $M_{n\times n}(\Bbb C)$ respecto a un producto generalmente de la matriz.

Uno puede construir fácilmente conmutativas-estructuras no asociativas, como la "piedra papel o tijera", donde la operación binaria produce el ganador: $$(p,p)\to p,\quad (p,r)\to p,\quad (p,s)\to s,\quad etc.$ $

Por lo tanto, estas propiedades no están relacionadas en general, sin embargo, para números naturales, como otros miembros de la comunidad dijeron, estás de suerte.