Integración del contorno con 2 polos simples en el contorno

Question

Ok para este caso agradecería que alguien me diera una respuesta conceptual primero. Se supone que debo integrar $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-i q t}}{p^2 - q^2} dq$ a lo largo de un semicírculo C (cuyo radio va al infinito), que comprende una trayectoria horizontal a lo largo de la recta real eludir los dos polos reales -p y +p con un semicírculo en el semiplano superior, igual que en la parte (a)

Debo demostrar que el resultado es 0 si t<0 y $2 \pi i (-\frac{i}{p} ) \sin{pt}$ si t>0.

Ahora no entiendo muy bien por qué el signo de la t cambiaría algo. ¿Puede alguien aclararme?

Answer 1

El signo de $t$ determina el contorno que se utiliza. La idea es que la integral sobre el gran arco circular tenderá a $0$ cuando el radio tiende a $\infty$ y para ello, el integrando debe hacerse pequeño, en particular el factor exponencial $e^{-iqt}$ . Tenemos $\lvert e^z\rvert = e^{\operatorname{Re} z}$ y $\operatorname{Re} (-iqt) = t\cdot \operatorname{Im} q$ . Para $t > 0$ que se vuelve negativo, y por tanto el integrando pequeño si $q$ está en el semiplano inferior, para $t < 0$ el integrando se hace pequeño cuando $q$ está en el plano medio superior.

El contorno en el semiplano superior no encierra un polo, por lo que por el teorema de la integral de Cauchy, la integral es $0$ . El contorno con el semicírculo grande en el semiplano inferior encierra los dos polos, y por el teorema del residuo, es entonces $-2\pi i$ veces la suma de los residuos en los polos ( $-2\pi i$ porque el contorno está orientado negativamente).