¿podría ser esta una regla general (y útil) para operar con ordinales?

Question

Trabajando en algunos ejercicios encontré esta regla que parece que podría ser muy útil para operar con ordinales. ¿es correcto?

$(\omega * m + n)*(\omega * p + q) = \omega ^2 * p + \omega * m * n + n$ con $n,m,p,q < \omega$ . * es la multiplicación ordinaria entre ordinales

¿Por qué no lo encuentro en los libros?

Answer 1

La multiplicación y la suma ordinal son asociativas pero se distribuyen sólo por la izquierda, por lo que tenemos, para empezar $$(\omega\cdot m+n)\cdot(\omega\cdot p+q) = (\omega\cdot m+n)\cdot\omega\cdot p + (\omega\cdot m+n)\cdot q$$ En el primero de estos términos, porque $\omega\cdot p$ es un ordinal límite cada $n$ se subsume en el siguiente copia de $\omega\cdot m$ (suponiendo que $m, p\ne 0$ ), pero en la segunda hay un último $n$ que termina al final. Así que tenemos $$\omega\cdot m\cdot\omega\cdot p + \omega\cdot m\cdot q + n$$ Sin embargo, $m\cdot\omega=\omega$ , por lo que esto es lo mismo que $$\omega^2\cdot p + \omega\cdot mq + n$$ que no es exactamente lo que has escrito.

Si $m$ y/o $p$ son $0$ obtenemos resultados especiales que no son un caso especial de esto.

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¿Por qué no se encuentran estas reglas en los libros? Porque en realidad es muy raro que haya que hacer cálculos tan concretos incluso en ordinales transfinitos pequeños como estos. No valdría la pena memorizar reglas para ello (y si los libros de texto incluyeran tales reglas, un cierto tipo de estudiantes sería empezar a perder el tiempo en memorizarlas).